Contingency Table¶

두개 이상의 범주형 변수의 빈도를 정리한 표
ex.) 성별, 흡연 여부
분석 목적 :
- 변수들간의 연관성 (association) 파악
- 집단 간 비율 비교

연구 구분과 분할표¶

실험 연구¶

임상시험, 무작위 배정(RCT)

관찰연구¶

코호트, 사례-대조, 단면 연구

용례¶

코호트 연구 : 상대 위험도 ( Relative Risk : RR )
사례 대조 연구 : 오즈비 ( Odds Ratio : OR )

연관성의 측도¶

분할표의 일반 형태

	결과 (유)	결과 (무)	합
실험군 (노출)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)	\(n_{1+}\)
대조군 (비노출)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)	\(n_{2+}\)
합	\(n_{+1}\)	\(n_{+2}\)	\(n\)

상대 위험도 (Relative Risk, RR)¶

	결과 (유)	결과 (무)	합
실험군 (노출)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)	\(n_{1+}\)
대조군 (비노출)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)	\(n_{2+}\)
합	\(n_{+1}\)	\(n_{+2}\)	\(n\)

정의

\[ RR\;=\;\frac{\text{실험군의 위험률}}{\text{대조군의 위험률 }}\;=\;\frac{n_{11}/n_{1+}}{n_{21}/n_{2+}} \]

해석
- RR = 1 : 위험 차이 없음
- RR > 1 : 실험군이 더 위험
- RR < 1 : 실험군에서 위험 감소
적용 연구 : 코호트 연구, 임상시험
- 대조군의 수가 연구자에 의해 결정되므로 사례 대조 연구 적용은 부적절하다.

사례 대조 연구 - 상대 위험도¶

사례 대조 연구 특성
- 질병 상태( 사례 / 대조 ) 를 먼저 정하고, 이후 노출 여부 조사
  - 모집단의 질병 발생 확률 알 수 없음
- 사례/대조 군의 비율은 연구자가 임의로 정한 샘플링 비율
  - 예 : 실제 질병 유병률 1%, 사례 50명/대조 50명 -> 발생률 왜곡
대안 : 오즈 비
- 샘플링 비율에 상관 없이 노출의 오즈비는 모집단과 동일

예제¶

소량의 아스피린 복용이 심장병으로 인한 위험을 줄이는 데 효과가 있는지 알아보고자 한다. 22,071명의 남성을 확률화를 통해 두 그룹으로 나눈 후, 한 그룹에는 저용량(325mg/일)의 아스 피린을 복용시키고, 다른 그룹에는 플라시보를 복용하게 한 후 약 60개월간 관찰하여 심근경색을 일 으키는지 여부를 관찰하였다. 결과는 아래 표에 정리되어 있다.

	결과 (유)	결과 (무)	합
실험군 (노출)	139	10898	11037
대조군 (비노출)	239	10795	11034
합	378	21693	22071

오즈비 ( Odds Ratio, OR )¶

	결과 (유)	결과 (무)	합
실험군 (노출)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)	\(n_{1+}\)
대조군 (비노출)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)	\(n_{2+}\)
합	\(n_{+1}\)	\(n_{+2}\)	\(n\)

Odds = \(\frac{\text{사건 발생 확률}}{\text{사건 미발생 확률}}\)
Odds Ratio

\[ \begin{align} OR\;&=\;\frac{\text{실험군에서의 오즈}}{\text{대조군에서의 오즈}} \\\\ \;&=\;\frac{(n_{11}/n_{+1})/(n_{21}/n_{+1})}{(n_{12}/n_{+2})/(n_{22}/n_{+2})} \\\\ \;&=\;\frac{n_{11}n_{22}}{n_{12}n_{21}} \end{align} \]

해석
- OR = 1 : 연관성 없음
- OR > 1 : 위험 요인과 사건 양의 연관
- OR < 1 : 위험 요인과 사건 음의 연관
적용 연구 : 사례-대조 연구, 코호트 연구 모두 사용 가능

예제¶

아래 표는 심장발작을 일으킨 환자와 그렇지 않은 사람들을 각각 214명씩 조사하여 그들이 과거에 약물남용을 한 경력이 있는지 여부를 조사한 사례-대조 (case-control) 연구로부 터 얻은 자료이다. 약물남용과 심장발작의 연관성이 어느 정도인가?

	결과 (유)	결과 (무)	합
실험군 (노출)	73	18	91
대조군 (비노출)	141	196	337
합	214	214	428

RR/OR 의 신뢰구간¶

CI(RR)¶

\[ \begin{align} CI(RR)\;=\;[RR\;*\;e^{-z_{a/2\sqrt{\hat{Var}(\ln RR)}}},RR\;*\;e^{z_{a/2\sqrt{\hat{Var}(\ln RR)}}}] \end{align} \]

단, \(\hat{Var}(\ln RR)\;=\;\frac{1}{n_{11}}\;-\;\frac{1}{n_{1+}}\;+\;\frac{1}{n_{21}}\;-\;\frac{1}{n_{2+}}\)

CI(OR)¶

\[ \begin{align} CI(OR)\;=\;[OR\;*\;e^{-z_{a/2\sqrt{\hat{Var}(\ln OR)}}},OR\;*\;e^{z_{a/2\sqrt{\hat{Var}(\ln OR)}}}] \end{align} \]

단, \(\hat{Var}(\ln OR)\;=\;\frac{1}{n_{11}}\;+\;\frac{1}{n_{12}}\;+\;\frac{1}{n_{21}}\;+\;\frac{1}{n_{22}}\)

로그 변환과 분산 추정¶

로그 변환¶

RR/OR 은 비율이라 음수가 될 수 없다
log(RR)/log(OR) 은 정규분포 근사에 유리
따라서, CI 는 지수함수로 되돌려서 계산

RR 의 분산 유도

OR 의 분산 유도

연관성의 검증¶

카이제곱 검정 -> 샘플수 불충분 : 피셔의 정확 검정법

카이제곱 검정¶

귀무가설¶

\(H_{01}\) : 아스피린 복용시와 폴라시보 복용시의 심근경색의 발병 비율은 같다. -> 동질성 검정 (homogeneity test) \(H_{02}\) : 아스피린 복용 여부와 심근경색 발볍 여부는 서로 독립이다. -> 독립성 검정 (independence test)

동질성 검정¶

그룹/결과	유	무	합
실험군(노출)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)	\(n_{1+}\)
대조군(비노출)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)	\(n_{2+}\)
합	\(n_{+1}\)	\(n_{+2}\)	\(n\)

\(I=2\) , \(J=2\) 일때, 2x2 분할표
\(p_{ij}\) : i 번째 그룹에서 j 번째 결과가 될 확률
\(H_o\;:\;p_{1j}\;=\cdots=\;p_{ij}\;=\cdots=\;p_{ij}\)
\(\hat p_j = {n{+j} \over n}\)

귀무 가설이 맞다면 모든 처리 그룹에 대해 j 번째 결과의 확률이 모두 \(p_j\) 와 같다. 고로 i 번째 그룹의 j번째 결과에 대한 기대도수는 - \(E_{ij} = n_i + \hat p_j = {n_i + n_{+j} \over n }\)

관측도수와 기대도수의 차이가 클 수록 귀무가설을 기각하는 강한 증거가 된다.

\[ \begin{align} \chi^2\;=\;&\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J\frac{(n_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} \\ = & \sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^J{(n_{ij} - n_i + n_{+j} /n)^2 \over (n_{i+} n_{+j}) /n} \end{align} \]

이로 카이제곱 통계량은 위와같이 정의된다. 귀무가설 하에서 이 통계량은 자유도 (I-1)(J-1)인 카이제곱 분포를 따른다는 것을 이용하여 검정한다.

독립성 검정¶

동질성 검정과 유도과정이 약간 다르지만 결과적으로 동일하다.

피셔¶

카이제곱을 사용할 수 없는 경우 -> 각 셀(30%)의 관측 도수가 5 미만인 경우 -> 표본 크기가 작은 경우

초기하 분포 : - 행합, 열합이 고정된 2x2 표의 확률 분포

p : 연가설 하에서 관측된 통계량보다 극단적인 값이 나올 확률

이 검정법에서는 셀 하나가 변해도 모든 셀의 값이 변하므로 한 셀이 변하는 확률만 구하면 된다.

초기하 분포 (HyperGeoMatrix Distribution)¶

유한 모집단에서 복원하지 않고 추출할때, 성공 갯수의 분포 즉, 특정 셀 값은 초기하 분포를 따름

	결과 (유)	결과 (무)	합
실험군 (노출)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)	\(n_{1+}\)
대조군 (비노출)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)	\(n_{2+}\)
합	\(n_{+1}\)	\(n_{+2}\)	\(n\)

\[ \begin{align} P(n_{11}=k) =\\\\ \frac{\begin{bmatrix} n_{+1} \\ k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} n_{+2} \\ n_{1+}-k \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} n \\ n_{1+} \end{bmatrix}} \end{align} \]

	결과 (유)	결과 (무)	합
실험군 (노출)	1(a)	4	5
대조군 (비노출)	3	2	5
합	4	6	10

-> a 가 1일때의 테이블 -> 초기하분포를 따른다.

a : 표의 (합) 중 최소값까지의 값만 가질 수 있다. -> 2의 값을 가지지 못하는 이유 -> 관측된 테이블보다 작거나 같은 확률을 가진 테이블을 구해야한다. -> 즉, 1일때의 \(P(A=a)\) 보다 작거나 같은 확률을 가져야만한다.

맥니마 검정¶

	처리후(Y)	처리후(N)	합
처리전(Y)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)	\(n_{1+}\)
처리전(N)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)	\(n_{2+}\)
합	\(n_{+1}\)	\(n_{+2}\)	\(n\)

ex) 소화제 먹기 전/후 - 소화불량 Y / N
두 표본은 독립이 아니다.

가설 : - 조건 1에서의 반응률 \(p_1\) , 조건 2에서의 반응률 \(p_2\) - \(H_0\;:\;p_1=p_2\quad,\quad H_0\;:\;p_1\neq p_2\) - \(\hat p_1 = {n_{1+} \over n}\) , \(\hat p_2 = {n_{+1} \over n}\)

검정통계량 :

\[ \begin{align} Q_M={(n_{12}-n_{21})^2 \over (n_{12}+n_{21}} \sim \chi^2(1) \end{align} \]

연속성 보정된 검정통계량 :

\[ \begin{align} Q_{M(2)}={\lvert (n_{12} - n_{21} - 1)^2 \rvert \over (n_{12} + n_{21})} \end{align} \]

개념¶

연속형 변수의 분석에서 짝지은 t-검정이 있었던 것처럼 도수를 구한 데이터에서도 짝지은 표본에 대해서 분석방법을 달리 고려해야한다.

한 샘플에 대해 처리 전,후를 비교한 문제에 사용 할 수 있다.

두 조건에서 일치한 쌍의 개수는 고려하지 않고 일치하지 않은 쌍의 개수에 근거하여 검정 통계량을 구한다.

처리 전에 양성 반응이었다가 처리 후에 음성이 된 사람이 처리 전에 음성이었다가 처리 후에 양성이 된 사람보다 현저히 많다면 처리 전 후의 반응률은 차이가 있는 것이고 귀무가설은 기각되어야한다.

코크란 맨텔 헨젤 검정 (CMH)¶

K층	반응(Y)	반응(N)	합
처리(1)	\(n_{k11}\)	\(n_{k12}\)	\(n_{k1+}\)
처리(2)	\(n_{k21}\)	\(n_{k22}\)	\(n_{k2+}\)
합	\(n_{k+1}\)	\(n_{k+2}\)	\(n_k\)

층화자료(Stratified Data) 에서 교란 변수 효과 보정
구조 : 2x2 by k 분할표
\(H_0\) : 층을 통제한 후에도 두 변수간 연관성 없음 \(H_0\) : \(p_1=p_2\) , \(H_1\) : \(p_1 \neq p_2\)

\[ \begin{align} Q_{CMH}\;=\;\frac{(\sum_{k=1}^Kn_{k11} - \sum_{k=1}^K(n_{k11}|H_0))}{\sum_{k=1}^K Var(n_{k11}|H_0)}\sim \chi^2(1) \end{align} \]

개념¶

여러 개의 그룹이 있을때, 두 처리간 반응률의 차이가 있는지 검정한다. 독립된 K개의 그룹이 있을때, 그룹의 효과를 제어한 반응률의 차이가 있는지 검정하는 방법 \(k=(1,2,\cdots,K)\) 번째 층의 처리와 반응 간의 관계 K 개의 층이 있고 처리 1 에서의 반응률을 \(p_1\) , 처리 2에서의 반응률을 \(p_2\) 라고 할때 처리 간 전체적인 반응률의 차이가 있는지를 검정하기 위한 귀무가설은 다음과 같다. \(H_0\) : \(p_1=p_2\) , \(H_1\) : \(p_1 \neq p_2\)

\(E(n_{k11}|H_0)={n_{k1+}n{k+1} \over n_k}\) 이고 \(Var(n_{k11}|H_0)={n_{k1+}n_{k2+}n_{k+1}n_{k+2} \over n_{k}^2(n_k -1)}\) 이다.

통계량 \(Q_{CMH}\) 이 귀무가설 하에서 근사적으로 자유도 1 을 갖는 카이제곱 분포를 따른다는 것을 이용하여 가설 검정한다.

진단법의 평가¶

진단/질병	양성	음성
양성	TP	FP
음성	FN	TN

민감도 - 특이도 : 반비례 관계
백분률 표시, 신뢰구간 계산 가능
100%(1.0) 이 가장 좋은 값
쉬운 치료 질병 -> 민감도 중요
하드 치료 질병 -> 특이도 높은 검사

민감도¶

양성 찾기
TPR(True Positive Rate)

\[ \begin{align} \frac{TP}{TP\;+\;TN} \end{align} \]

특이도¶

음성 찾기
FPR(False Positive Rate) = 1 - 특이도

\[ \begin{align} \frac{TN}{FP\;+\;TN} \end{align} \]

정확도¶

\[ \begin{align} \frac{TP\;+\;TN}{N} \end{align} \]

-> 전체 테스트 군에서 올바르게 진단된 경우

유병률¶

\[ \begin{align} \frac{TP\;+\;FN}{N} \end{align} \]

-> 전체 테스트 군에서 질병을 가지고 있는 경우

ROC 곡선 & AUC (Area under the curve)¶

AUC : ROC 곡선 아래의 면적

y : 민감도 x : 1-특이도 = FPR - 노란선 의 면적이 AUC 이다. - 0.5 (45 도 기울기) : 찍는거나 다를바 없는 정확도