3
복습
\(Matrixs\)
A : \(m\;*\;n\)
B : \(n\;*\;k\)
AB = \(m\;*\;k\;=\;C\;=\;(\;C_{ij}\;)\;=\;<\;\overrightarrow a_i\;,\;\overrightarrow b\;>\)
\(\overrightarrow a_i\) : A 의 \(i_{th}\) Row Vector
\(\overrightarrow b\) : B 의 \(j_{th}\) Column Vector
Inner Product · Matrix 관계
\[
A*\overrightarrow x
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\;
\end{bmatrix}
\;*\;
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2\;-\;x_1 \\
x_3\;-\;x_2
\end{bmatrix}
\;=\;
b
\]
만약 A 와 b 를 알고 x 를 찾고 싶을때 ( 1차 방정식 )
즉 \(A{\overrightarrow x}\;=\;b\) 가 되는 \(\overrightarrow x\) 를 찾는것
\[
\begin{cases}
x_1 \;=\; b_1 \\
x_2\;-\;x_1\;=\;b_2 \\
x_3\;-\;x_2\;=\;b_3
\end{cases}
\quad
and
\quad
thus
\begin{cases}
x_1 \;=\; b \\
x_2 \;=\;b_1\;+\;b_2 \\
x_3 \;=\;b_1\;+\;b_2\;+\;b_3
\end{cases}
\]
\[
\therefore
\quad
if\;b\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
5
\end{bmatrix}
\quad ,
then \;
x\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
4 \\
9
\end{bmatrix}
\]
즉 b 가 적절하게 주어지면 \(x\) 를 찾을 수 있다.
Q. 언제 해를 찾을 수 있는가?
이해
\[
1차\;방정식\;:\;
\begin{cases}
3x\;+\;5y\;+6z\;=\;3 \\
2x\;+\;\quad\quad\;\;3z\;=\;5 \\
\quad\quad\quad y\;\;+\;z\;\;=\;7
\end{cases}
\quad
\]
\(A{\overrightarrow x}\;=\;b\) 가 되는 \(\overrightarrow x\) 를 찾는 연산 또한 위 1차 방정식과 같다.
\[
ex)\;
\begin{cases}
&5x\;&+\;&3y\;&=\;&1 \\
&x\;&+\;&2y\;&=\;&3 \\
\end{cases}
\;\Rightarrow\;x,y
\]
\[
\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
5x\;&+\;&3y\; \\
x\;&+\;&2y\; \\
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
<\;(5,3)\;,\;(x,y)\;>\\
<\;(1,2)\;,\;(x,y)\;>\\
\end{bmatrix}
\leftrightarrows
\begin{bmatrix}
5 & 3\\
1 & 2\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x\\
y\\
\end{bmatrix}
\]
\[
A\;=\;
\begin{bmatrix}
5 & 3 \\
1 & 2
\end{bmatrix}
\quad\quad
\overrightarrow b
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
3
\end{bmatrix}
\quad
이라면
\]
\[
\overrightarrow x
\;=\;
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\quad
A\;\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b
\]
아래와 같은 1차 방정식을 푸는 방식처럼 행렬도 같이 푸는 방법을 배울 것이다.
\[
\begin{cases}
&\color{blue}5x\;&+\;&3y\;&=\;&1 \\
-&\color{blue}5\color{white}(\color{blue}x\;&\color{red}+\;&\color{red}2y)\;&\color{red}=\;&\color{red}15 \\
&\hline
\quad&-&7y\;&=\;-&14 \\
&\hline
&\quad\quad&y\;&=\;&2
\end{cases}
\]
행렬에 X5 연산 · 행렬 소거
Invertible Matrix ( 역행렬 )
정의
\[
Fact\;:\;
\begin{cases}
x_1 \;=\; b \\
x_2 \;=\;b_1\;+\;b_2 \\
x_3 \;=\;b_1\;+\;b_2\;+\;b_3
\end{cases}
\]
\[
A\;\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\;\Rightarrow\;\overrightarrow x\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\;*\;
\overrightarrow b
\]
\[
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
b_3
\end{bmatrix}
\]
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\quad
S
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix} \;이라면\;S는\;A의\;역행렬이다.
\]
\[
AS
\;=\;
\begin{bmatrix}
\color{red}1 & \color{blue}0 & \color{yellow}0 \\
\color{red}-1 & \color{blue}1 & \color{yellow}0 \\
\color{red}1 & \color{blue}-1 & \color{yellow}1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\color{red}1 & \color{red}0 & \color{red}0 \\
\color{blue}1 & \color{blue}1 & \color{blue}0 \\
\color{yellow}1 & \color{yellow}1 & \color{yellow}1
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
\color{red}1 & \color{red}0 & \color{red}0 \\
\color{blue}0 & \color{blue}1 & \color{blue}0 \\
\color{yellow}0 & \color{yellow}0 & \color{yellow}1
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\;=\;
I_3
\]
\(AS\;=\;I_3\) · \(SA\;=\;I_3\) (Identity Matrix) 이 된다.
정리
\(A\;:\;Matrix\quad\overrightarrow b\;:\;vector\)
\(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\)
만약 A 가 역행렬을 가진다면 \(\overrightarrow x\;=\;A^{-1}\;\overrightarrow b\)
유도 과정
TIP : \(A^{-1}\;(\;A\;\overrightarrow x\;)\;=\;(\;A^{-1}\;A\;)\;\overrightarrow x\)
\[
\begin{aligned}
&1\;:\;&A\overrightarrow x\;&=\;\overrightarrow b \\
&2\;:\;&A^{-1}A\overrightarrow x\;&=\;A^{-1}\;\overrightarrow b \\
&3\;:\;&I\;\overrightarrow x\;&=\;A^{-1}\;\overrightarrow b \\
&4\;:\;&\;\overrightarrow x\;&=\;A^{-1}\;\overrightarrow b \\
\end{aligned}
\]
앞으로
만약 A 가 역행렬을 가지지 않는다면
역행렬을 어떻게 계산하는가
Cycle Difference Matrix
\[
C*\overrightarrow x
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\;
\end{bmatrix}
\;*\;
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
x_1\;-\;x_3 \\
x_2\;-\;x_1 \\
x_3\;-\;x_2
\end{bmatrix}
\;=\;
b
\]
순환하는 구조를 가진 C 행렬을 칭한다.
b 값에 따라 해를 무한대로 가지거나 없을수 있다.
\[
If)\quad b\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\quad
then\quad x\;=\;
\begin{bmatrix}
c \\
c \\
c
\end{bmatrix}
\]
b 가 전부 0 인 원소를 가진다면 \(x_1\;=\;x_2\;=\;x_3\)
\(x_1\;=\;x_2\;=\;x_3\) 이라면 b 는 무조건 0
즉, 모든 실수 c 에 대해서 x = [c c c] 라면 b = 0
\[
C\;*\;\overrightarrow x
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\]
위 등식이 성립하는 \(\overrightarrow x\) 의 개수는 ( 해의 개수 ) 무한하다.
\[
If)\quad b\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
5
\end{bmatrix}
\quad
then\quad x\;=\;
\begin{bmatrix}
c \\
c \\
c
\end{bmatrix}
\]
위 등식이 성립하는 \(\overrightarrow x\) 의 개수는 ( 해의 개수 ) 없다.
Independence · Dependence 독립 과 종속
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \color{red}0 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\quad
\quad
\overrightarrow u
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
-1\\
0
\end{bmatrix}
\quad
\overrightarrow v
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
\quad
\overrightarrow w
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\]
\[
C
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \color{red}-1 \\
-1 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{bmatrix}
\quad
\quad
\overrightarrow u
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
-1\\
0
\end{bmatrix}
\quad
\overrightarrow v
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
\quad
\overrightarrow w
\;=\;
\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\]
요약
A 가 역행렬을 가진다 : A is Invertible
A 가 역행렬을 가진다 면 A 의 Columns 는 독립 이다.
\(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\) 는 하나의 해를 가진다.
A 가 역행렬을 가지지 않는다 : A is not Invertible
A 가 역행렬을 가진다 면 A 의 Columns 는 종속 이다.
\(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\) 는 해가 무한하거나 없다.
즉
$$
\overrightarrow x
\quad
찾기
\quad
\begin{cases}
해가\;하나\;존재 \
해가\;없다\; \
해가\;\infty
\end{cases}
$$