5¶
Elementary Matrix¶
복습 ( 행렬곱 )¶
\[
\begin{aligned}
A\;&=\;
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\\
\\
B\;&=\;
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{bmatrix}
\\
\\
A*B\;&=\;
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{bmatrix}
\\
\\
\;&=\;
\begin{bmatrix}
a_{11}b_{11}\;+\;a_{12}b_{21} & a_{11}b_{21}\;+\;a_{12}b_{22} \\
a_{21}b_{11}\;+\;a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}\;+\;a_{22}b_{22}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
개념 정리¶
1)
\[
E_{ij}
\quad
=
\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
\[E\;*\;A\;=\;
\begin{cases}
\quad
\text{A 의 1st row 는 그대로 두어라}
\quad
\\
\\
\quad
\text{-2(A 의 1st row) + A의 2nd row}
\\
\\
\quad
\text{A 의 3rd row 는 그대로 두어라}
\end{cases}
\]
\[E\;*\;A\;=\;
\begin{cases}
\quad
\overrightarrow a_1
\quad
\\
\\
\quad
-2\overrightarrow a_1\;+\;\overrightarrow a_2
\\
\\
\quad
\overrightarrow a_3
\end{cases}
\]
2) 궁극적으로 행렬 연산을 하기 위해 \(U \overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b^{\;\;'}\) 형태로 바꾸어야한다.
\[
U
\;=\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} \mathbb R & \color{blue}\mathbb R & \color{blue}\mathbb R \\
\color{yellow}0 & \color{blue}\mathbb R & \color{blue}\mathbb R \\
\color{yellow}0 & \color{yellow}0 & \color{blue}\mathbb R
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{cases}
\quad
a_{11}\;x_1\;+\;a_{12}\;x_2\;+\;a_{13}\;x_3\;=\;b_1
\quad
\\
\\
\quad
{\color{red}a_{21}\;x_1}\;+\;a_{22}\;x_2\;+\;a_{23}\;x_3\;=\;b_2
\\
\\
\quad
{\color{yellow}a_{31}\;x_1}\;+\;{\color{yellow}a_{32}\;x_2}\;+\;a_{33}\;x_3\;=\;b_3
\end{cases}
\]
빨 -> 노 -> 초 순서대로 연산을 진행하여 \(U \overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b^{\;\;'}\) 형태를 만든다.
\(E_3\;=\;a_{32}x_2\) 를 소거하는 Elementary Matrix \(E_2\;=\;a_{31}x_1\) 를 소거하는 Elementary Matrix \(E_1\;=\;a_{21}x_1\) 를 소거하는 Elementary Matrix
\(E_3*E_2*E_1*A\;=\;U\) \(E_3E_2E_1A \overrightarrow x\;=\;U\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\)
\(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b \quad \Rightarrow \;using\;\;E_i\; · \;P \quad \Rightarrow \quad U\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\)
Permutation Matrix¶
Identity Matrix 의 row 의 순서를 바꿔준 행렬
\[
I_3
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\quad
\Rightarrow
\begin{cases}
\quad
P_a
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\\
\\
\quad
P_b
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\\
\\
\quad
P_c
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{cases}
\]
예제¶
위의 \(E\) 를 이용한 행렬 소거가 불가능한 경우 \(P\) 를 통해 행렬을 변화시켜 해결한다.
\[
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\;*\;
\begin{bmatrix}
0 & 5 \\
6 & 7 \\
\end{bmatrix}
\quad
\Rightarrow
\begin{cases}
\quad
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\;*\;
\begin{bmatrix}
0 & 5 \\
6 & 7 \\
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
6 & 7 \\
\end{bmatrix}
\\\\
\quad
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\;*\;
\begin{bmatrix}
0 & 5 \\
6 & 7 \\
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 & 5 \\
\end{bmatrix}
\end{cases}
\]