2
행렬
M * N matrix
\[A_{m,n} =
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & a_{i,j} & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}
\end{pmatrix}\;=\;[\;a_{ij}\;]\]
\(i\)-th row of A : (\(a_{i1}\;,\;a_{i2}\;\cdots\;a_{in}\))
\(j\)-th column of A : $\(A_{m,n} =
\begin{pmatrix}
a_{1,j} \\
a_{2,j} \\
\vdots \\
a_{m,j}
\end{pmatrix}\)$
연산
합 · 차
A = \([\;a_{ij}\;]\)
B = \([\;b_{ij}\;]\)
\[\begin{align} A + B &=
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}
\end{pmatrix}\;+\; \begin{pmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n} \\
b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m,1} & b_{m,2} & \cdots & b_{m,n}
\end{pmatrix}\; \\ \\ &= \; \begin{pmatrix}
a_{1,1}\;+\;b_{1,1} & a_{1,2}\;+\;b_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\;+\;b_{1,n} \\
a_{2,1}\;+\;b_{2,1} & a_{2,2}\;+\;b_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\;+\;b_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1}\;+\;b_{m,1} & a_{m,2}\;+\;b_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\;+\;b_{m,n}
\end{pmatrix}
\end{align}\]
Scalar 곱
\[cA =
c\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}
\end{pmatrix}\;=\;\begin{pmatrix}
ca_{1,1} & ca_{1,2} & \cdots & ca_{1,n} \\
ca_{2,1} & ca_{2,2} & \cdots & ca_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
ca_{m,1} & ca_{m,2} & \cdots & ca_{m,n}
\end{pmatrix}\]
Matrix 곱
A : m*k
B : k*m
AB = \([\;c_{ij}\;]\;\in\;\mathbb R^{m*n}\)
\[\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\color{red}a_{i,1} & \color{red}a_{i,2} & \color{red}\cdots & \color{red}a_{i,k} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,k}
\end{pmatrix}\;*\;
\begin{pmatrix}
b_{1,1} & \cdots & \color{blue}b_{1,j} & \cdots & b_{1,n} \\
b_{2,1} & \cdots & \color{blue}b_{2,j} & \cdots & b_{2,j} \\
\vdots & & \color{blue}\vdots & & \vdots \\
b_{k,1} & \cdots & \color{blue}b_{k,j} & \cdots & b_{k,n}
\end{pmatrix}\;=\;
\begin{pmatrix}
c_{1,1} & c_{1,2} & \cdots & c_{1,n} \\
c_{2,1} & c_{2,2} & \cdots & c_{2,n} \\
\vdots & \vdots & \color{yellow}c_{i,j} & \vdots \\
c_{m,1} & c_{m,2} & \cdots & c_{m,n}
\end{pmatrix}\]
여담) 행렬의 곱셈 = 함수의 합성
FACT) \(f\;:\;\mathbb R^n\;->\;\mathbb R^m\;\:\;Linear\)
\[
Linear
\;=\;
\begin{pmatrix}
\;\;
f\;(\;\overrightarrow x\;+\;\overrightarrow y\;)\;&=\;f(\;\overrightarrow x\;)+(\;\overrightarrow y\;)
\\
f(\;c\;*\;\overrightarrow x\;)\;&=\;c\;*\;f(\;\overrightarrow x\;)
\;\;
\end{pmatrix}
\]
A : m * n 행렬
\(f(\;\overrightarrow x\;)\;=\;A\;*\;\overrightarrow x\)
\(\mathbb R^k\;-\;(g)\;>\;\mathbb R^n\;-\;(f)\;>\;\mathbb R^m\;\)
\(\overrightarrow x\;->\;g(\;\overrightarrow x\;)\;->\;(\;f\;*\;g\;)\;(\;\overrightarrow x\;)\)
A : f 에 대응
B : g 에 대응
예제
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 4 \\
2 & 1 & 1 \\
3 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 2 \\
\end{pmatrix}
\;*\;
\begin{pmatrix}
2 & 4 \\
1 & 1 \\
3 & 0 \\
\end{pmatrix}
\;=\;
\begin{pmatrix}
14 & 4 \\
8 & 9 \\
7 & 13 \\
8 & 2 \\
\end{pmatrix}\]
A : \(\color{red}m\) * \(\color{blue}k\) 행렬
B : \(\color{blue}k\;\) * \(\color{red} n\) 행렬
- \(\color{blue} k\) 가 같을때만 성립한다.
- AB : \(\color{red} m\) * \(\color{red} n\) 행렬이 된다.
\(\mathbb R^n\;-(B)->\;\mathbb R^k\;-(A)->\;\mathbb R^m\;\)
\(1\;\leq\;i\;\leq\;m\)
\(1\;\leq\;j\;\leq\;n\)
\[\color{red}\overrightarrow a_i\;\color{white}=\;(\;a_{i,1}\;,\;a_{i,2}\;\;\cdots\;,\;a_{i,k}\;)\]
\[
\color{blue}\overrightarrow b_j \color{white}=
\begin{pmatrix}
b_{1,j} \\
b_{2,j} \\
\vdots \\
b_{i,j}
\end{pmatrix}\]
\[\color{yellow}C_{ij}\;\color{white}=\;<\;\overrightarrow a_i\;,\;\overrightarrow b_j\;>\;=\;\sum_{s=1}^{k}\;a_{is}\;*\;b_{is}\]
\[
\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\;*\;
\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & 6 \\
\end{pmatrix}
\;=\;
\begin{pmatrix}
C_{11}\;=\;4 & C_{12}\;&=\;7 \\
C_{21}\;=\;3 & C_{22}\;&=\;6 \\
C_{31}\;=\;5 & C_{32}\;&=\;11 \\
\end{pmatrix}\]
\(C_{11}\;=\;<\;\overrightarrow a_1\;,\;\overrightarrow b\;>\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;=\;<\;(\;-1\;1\;1\;)\;,\;(\;1\;2\;3\;)\;>\) : 내적
\(\;\;\;\;\;\;\;\;=\;-1\;+\;2\;+\;3\)
\(\;\;\;\;\;\;\;\;\cdots\;\)
\(C_{32}\;=\;\cdots\;11\)
Identity Matrix 항등 행렬
\[
\delta_{ij}=
\begin{cases}
1\quad\;&If)\;i\;=\;0 \\
0\quad\;&If)\;i\;\ne\;j\;
\end{cases}
\quad That\;\;is
\]
\[
I_{n} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
\]
A : n * n 행렬일때
\(A\;*\;I\;=A\)
\(I\;*\;A\;=\;A\) 성립
위와 같은 등식이 성립하는 n * n 행렬을 \(I_n\) 이라 칭한다.
\(^\forall a\;\in\;\mathbb R\) 와 같은 실수 에서
\(a\;*\;\color{red}1\color{white}\;=\;a\) · \(\color{red}1\;\color{white}*\;a\;=\;a\)
\(\color{red}1\) : 항등원 ( Identity element ) 과 같은 역할을 하는 행렬
\(For\;any\;Matrix\;A\;\in\;\mathbb\;R^{m\;*\;n}\)
\(AI_n\;=\;I_m\;A\;=\;A\)
\[
I_{n} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix} \\
(\;n\;*\;n)
\;\;\;\;\;\;\;\;
I_{m} =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}
(\;m\;*\;m)
\]
Ex)
\[
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix} \;
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \;
\;=\;
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix} \;
\;=\;
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} \;
\begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{pmatrix} \;
\]
\(^\forall a\;\in\;\mathbb R\;(\;not\;0\;)\) 일때
\(a\;*\;\color{red}\frac{1}{a}\;\color{white}=\;1\)
\(a\;*\;\color{red}a^{-1}\;\color{white}=\;1\)
이를 역원 ( Inverse Element ) 라 하며
\(A\;*\;\color{red}\frac{1}{A}\;\color{white}=\;I\)
\(A\;*\;\color{red}A^{-1}\;\color{white}=\;I\)
행렬에서도 이와 같은 역할을 하는 것을 역행렬 ( Inverse Matrix ) 라 한다.
예제
