Q1

2023-1

1

\[ \begin{aligned} A \;=\; \begin{bmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \quad \quad \overrightarrow b \;=\; \begin{bmatrix} -2 \\ 9 \\ -14 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

1. A 를 LU Decomposition 하라

행렬 A 를 단위 하 삼각행렬 ( L ) 로 바꾸기 위한 기본 행 변환

\[ \begin{aligned} A \;=\; &\begin{bmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \quad U \;=\; {\Rightarrow \over {R_2+0R_1}} \quad \begin{bmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \\ \\ {\Rightarrow \over {R_3+(-{3 \over 2})R_1}} &\begin{bmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & -{7 \over 2} & -1 \end{bmatrix} \quad {\Rightarrow \over {R_3+({7\over 6})R_2}} \quad \begin{bmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & {1\over 6} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} L \;=\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -{3 \over 2} & {7 \over 6} & 1 \end{bmatrix} \quad \end{aligned} \]

1. Ly = b 가 되는 y 를 계산하라

\[ \begin{aligned} Ly \;=\; \begin{bmatrix} y_1 & 0 & 0 \\ 0 & y_2 & 0 \\ -{3 \over 2}y_1 & {7 \over 6}y_2 & y_3 \end{bmatrix} \quad \;=\; \overrightarrow b \;=\; \begin{bmatrix} -2 \\ 9 \\ -14 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &y_1\;=\;-2 \\ \\ &y_2\;=\;9 \\ \\ -\frac{3}{2}&y_1+\frac{7}{6}y_2\;+y_3\;=-14 \\ \\ \therefore \quad &\overrightarrow y \;=\; \begin{bmatrix} -2 \\ 9 \\ -\frac{2}{55} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

1. Ax = b 가 되는 x 를 계산하라

\[ \begin{aligned} Ax=b \quad \Rightarrow Ax=Ly \quad \Rightarrow A/L\;x=y \quad \Rightarrow Ux=y \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} 2 & 5 & 4 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & {1\over 6} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix} -2 \\ 9 \\ -\frac{2}{55} \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} 2x_1\;+\;5x_2\;+\;4x_3\;=\;-2 \\ 0+\;3x_2\;+\;x_3\;=\;9 \\ 0+\;0\;+\;\frac{1}{6}x_3\;=\;-\frac{2}{55} \\ \\ \therefore \quad \overrightarrow x \;=\; \begin{bmatrix} \frac{1814}{55}\\ \frac{169}{55}\\ -\frac{12}{55} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

2

행렬 A, B가 가역(invertible)인지 아닌지 확인하고, invertible이라면 inverse matrix를 모두 계산하여라

\[ \begin{aligned} A \;=\; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{bmatrix} \quad \quad B \;=\; \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 6 & 6 & -20 \\ 1 & 5 & 12 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\[det(A)=\sum_{j=1}^n​\;(−1)^{i+j}⋅a_{ij}​⋅M_{ij}\]

​

\[ \begin{aligned} A \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{bmatrix} \over M_{11} \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} M_{12} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 8 \end{bmatrix} M_{13} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\(\mathbb{det}(A)\;=\;+1*M_{11}\;\;-2*M_{12}\;\;+3*M_{13}\)

\[ \begin{aligned} &+ 1*(5*8\;-\;0*3) \\ &- 2*(2*8\;-\;3*1) \\ &+ 3*(2*0\;-\;5*1) \\ &=\;40\;-\;2(16-3)\;+\;3(-5) \\ &=\;40\;-\;26\;-\;15\;=\;-1 \end{aligned} \]

행렬식이 0 이 아니므로 행렬 A 는 가역이다.

\[ \begin{aligned} B \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 6 & 6 & -20 \\ 1 & 5 & 12 \end{bmatrix} \over M_{11} \begin{bmatrix} 6 & -20 \\ 5 & 12 \end{bmatrix} M_{12} \begin{bmatrix} 6 & -20 \\ 1 & 12 \end{bmatrix} M_{13} \begin{bmatrix} 6 & 6 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\(\mathbb{det}(B)\;=\;+2*M_{11}\;\;-4*M_{12}\;\;+1*M_{13}\)

\[ \begin{aligned} &+ 2*(6*12\;-\;-20*5) \\ &- 4*(6*12\;-\;-20*1) \\ &+ 1*(6*5\;-\;6*1) \\ &=\;2*(172)\;-\;4*(92)\;+\;(24) \\ &=\;344\;-\;368\;+\;24\;=\;0 \end{aligned} \]

행렬 B 는 비 가역적이다.

3

\[ \begin{aligned} A \;=\; \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & a \end{bmatrix} \quad \quad \overrightarrow b \;=\; \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

1. Ax = b가 무한 개의 해를 갖는 조건 (a,b1,b2,b3)를 서술하고, 이 때 해를 찾으시오.

\[ \begin{aligned} A \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & 1 & a \end{bmatrix} \over M_{11} \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 1 & a \end{bmatrix} M_{12} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & a \end{bmatrix} M_{13} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\(\mathbb{det}(A)\;\neq\;0\) : 해가 유한하다. \(\mathbb{det}(A)\;=\;+1*M_{11}\;\;-1*M_{12}\;\;+0*M_{13}\;\Rightarrow a\;=\;0\) 일때 해가 무한하다.

\[ \begin{aligned} A\Rightarrow rref(A) \\ \\ R_2\;=\;R_2-2R_1 \\ R_3\;=\;R_3+R_1 \\ \\ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3\\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ R_2\;=\;R_2\;/\;-2 \\ R_1\;=\;R_1-R_2 \\ R_3\;=\;R_3+R_2 \\ \\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{3}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} rref(A) \;=\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2}\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ b_1-\frac{2}{3}b_3\;=\;0 \\ b_2+\frac{1}{2}b_3\;=\;0 \\ \\ x \;=\; \begin{bmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{2}\\ 1 \end{bmatrix} \;\; b_3 \;+\; \begin{bmatrix} t \\ 0\\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

rref(A) 의 대각성분 중 0이 아닌 실수의 개수는 rank(A) = 2 : 2차원 벡터 공간을 생성 할 수 있다.

\(b_3\) 는 임의의 값을 가질 수 있으며 (t는 임의의 실수) \(b_3\) 와 t 값에 따라 Ax=b 의 무수히 많은 해를 구할 수 있다.

1. Ax = b가 유일한 해(unique solution)를 갖는 a를 계산하여라ㅈ.

\(a\neq0\) 일 경우 Ax=b 는 유일한 해를 가진다.

4

행렬 \(A\;\in\;\mathbb R^{n*n}\) , 백터 \(\overrightarrow x \;,\; \overrightarrow y\;\in\;\mathbb R^{n}\) 가 다음을 만족한다.

\[ Ax\;=\;\lambda_1 x \quad Ay\;=\;\lambda_2 y \]

1. 이 때, x와 y가 1차독립(linearly independent)임을 보이시오. 단, \(λ1\;\neq\;λ2\;,\;x\;,\;y \neq 0.\)

\[ c_1x\;+\;c_2y\;=0 \]

5

벡터 v1, . . . , vn이 모두 영벡터 (zero vector)가 아니라고 하자. 임의의 i, j에 대하여, vi와 vj이 수직일 때, 집합 {v1,...,vn}이 일차독립임을 보이시오.

임의의 스칼라 𝑐1,…,𝑐𝑛c1​,…,cn​에 대하여 다음 선형 조합을 고려합시다:

\((c_1​v_1​+c_2​v_2​+…+c_n​v_n​)​=0\)

이 식이 모든 \(C_i\)​에 대해 성립한다면, \(𝑣_1,\cdots,𝑣_𝑛\)​이 선형 독립임을 의미합니다.

각 \(v_i\) ​가 서로 수직하므로, \(v_i⋅v_j=0\) (단, \(i \neq j\))입니다. 위의 식 양변에 임의의\(v_k\)를 내적하면,

\((c_1​v_1​+c_2​v_2​+…+c_n​v_n​)⋅v_k​=0\)

이때, 각 항을 개별적으로 내적하면,

\(c_1(v_1⋅v_k)+c_2(v_2⋅v_k)+\cdots+c_n(v_n⋅v_k)=0\)

\(v_k\)​는 \(v_k\) ​와 수직이 아닌 유일한 벡터이므로

\(v_k · v_k\;\neq\;0\) \(v_i · v_k\;=\;0\quad for\;all\;i\;\neq\;k\)

\(c_k(v_k · v_k)\;=\;0\) \(v_k\) 는 영벡터가 아니므로 \(v_k · v_k\;>\;0\) 따라서 위 식이 성립하기 위해서는

\(c_k\;=\;0\)

k가 임의였으므로, 모든 \(c_n\) 는 0이어야 합니다.

따라서, 모든 계수 \(c_i\) ​가 0임을 알 수 있으므로, {𝑣1,…,𝑣𝑛}{v1​,…,vn​}은 선형 독립임이 증명됩니다. 이 결과는 서로 수직인 벡터들이 자동적으로 선형 독립이라는 것을 보여줍니다. 이는 벡터들이 각각 독립된 방향을 가지며, 이들 중 어느 하나도 다른 벡터들의 조합으로 표현될 수 없음을 의미합니다.

6

\[ \begin{aligned} A \;=\; \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & 3\\ -2 & 1 & -1 & 1\\ 4 & -3 & 5 & 5\\ 0 & -1 & 3 & 7 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} rref(A) \;=\; \begin{bmatrix} 1 & a_1 & a_2 & a_3\\ 0 & 1 & b_1 & b_2\\ 0 & 0 & 1 & c_1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

1. A의 열공간 (column space), 행공간 (row space),영공간 (null space), 좌영공간(left null space)의 기저(basis)와차원 (dimension)을 각각 구하여라.

2. 열공간 기저 : \([1,0,0,0]^t\), \([a_1,1,0,0]^t\), \([a_2,b_1,1,0]^t\) 차원 : Pivot 열의 수 = 3

3. 행공간 기저 : \([1,a_1,a_2,a_3]\), \([0,1,b_1,b_2]\), \([0,0,1,c_1]\) 차원 : 비-제로 행의 개수 = 3

4. 영공간 영공간은 행렬을 곱했을 때 결과가 영벡터인 벡터들의 집합

\[ \begin{aligned} x_1\;=\;-a_3t \\ x_2\;=\;-b_2t \\ x_3\;=\;-c_1t \\ x_4\;=\;t \end{aligned} \]

기저 : \([-a_3,-b_2,-c_1,1]^T\) 차원 : 자유 변수의 수 : 마지막열의 변수들의 수 : 0

• 좌영공간 \(𝐴^T\)에 대한 영공간 \(A^T\)를 곱했을 때 결과가 영벡터인 벡터들의 집합

• 기저: \([0,0,0,1]^T\)

• 차원 : 1 (제로행의 수)

7

행렬 \(A\;\in\;\mathbb R^{m*n}\) , 행렬 \(B\;\in\;\mathbb R^{n*k}\) 가 주어졌을때 다음을 보여라, rank(M) 은 행렬 M의 rank 이다.

\[ \begin{aligned} rank(AB)\;\leq\;rank(A) \\ rank(AB)\;\leq\;rank(B) \end{aligned} \]

1. rank(AB)≤rank(A) 증명

2. 열공간의 포함 관계: 𝐴B의 열들은 𝐴에 의해 B의 열들이 선형 변환된 결과 이는 AB의 모든 열이 𝐴의 열공간(column space) 내에 있다는 것을 의미 즉, Col(𝐴𝐵)⊆Col(𝐴)

3. 랭크의 정의: 행렬의 랭크는 그 열공간의 차원, 즉 기저의 수 AB의 열공간이 A의 열공간에 포함된다면, AB의 열공간이 생성할 수 있는 차원은 A의 열공간이 생성할 수 있는 차원을 초과할 수 없습니다.

4. 결론: rank(𝐴𝐵)≤rank(𝐴)

5. rank(𝐴𝐵)≤rank(𝐵) 증명

6. 핵심 개념: AB는 B가 이미 \(\mathbb R^k\)에 매핑한 후의 결과에 A가 작용하는 것이므로, AB가 생성할 수 있는 독립적인 출력의 수는 B가 이미 생성한 출력의 수를 초과할 수 없습니다.

7. 결론: 따라서, rank(𝐴𝐵)≤rank(𝐵)

2022

True False

1. 서로 다른 고유벡터 (eigenvectors) 들은 1차 독립이다

True 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터들은 선형 독립입니다.

\(c_1​v_1​+c_2​v_2​+ \cdots +c_n​v_n\;​=\;0\)

1. 행렬 A ∈ R2×2의 특성다항식이 실수 해를 갖지 않는다고 하자. 그러면 A 가 대각화가능(diagonalizable)하다.

False A는 실수 범위에서 대각화 불가능

1. 0 이 \(A∈R^{n×n}\) 가 고유값 (eigenvalue) 중 하나라고 하자. 그러면 A의 rank 는 n보다 작다.

True 0이 고유값 중 하나라면, A는 비가역적 비가역 행렬의 랭크는 행렬의 차원 n보다 작습니다.

1. 행렬 \(A∈R^{n×n}\) 의 서로 다른 고유값 의 수 가 n 보다 작다고하자. 그러면 A는 대각화 불가능이다.

False 서로 다른 고유값의 수가 n보다 작다고 해서 반드시 대각화 불가능한 것은 아닙니다.

1. 행렬 \(A∈R^{n×n}\) 의서로다른고유값의수가n보다작다고하자.그러면 A는 대각화 가능하다. False 중요한 것은 각 고유값의 대수적 중복도와 기하적 중복도입니다.

2. \(det(A\;+\;B)\;=\;det(A)\;+\;\det(B)\)가 성립하는 행렬 A, B가 존재한다. False

3. \(det(AB)\;\neq\;det(A)det(B)\)가 성립하는 행렬 A, B가 존재한다. false

\(det(AB)\;=\;det(A)det(B)\)이 항상 성립

1. 행렬 \(A∈R^{3×3}\)이 주어질 때, A + λI가 역행렬을 갖지 않는 λ ∈ R이 존재한다. True

\(A\;+\;\lambda I\) 가 역행렬을 갖지 않는 \(\lambda\;\in\;\mathbb R\) 가 존재한다는 명제는 고유값 𝜆에 관한 것만약 𝜆가 𝐴의 고유값이라면, \(A\;+\;\lambda I\) 는 특이 행렬(역행렬이 존재하지 않는 행렬)이 됩니다. 즉, 𝐴 의 고유값 𝜆에 대해 \(A\;-\;\lambda I\) 의 행렬식이 0이므로, \(A\;+\;\lambda I\) 의 행렬식도 0이 됩니다

1. 반 대칭행렬 (skew-symmetric matrix)의 trace는 항상 0이다. True

반대칭 행렬(스큐 대칭 행렬) A는 \(A^T\;=\;-A\)를 만족합니다. 따라서 A의 대각성분은 모두 0이어야 합니다 (각 대각 성분은 자신의 음의 값과 같아야 하므로) 행렬의 트레이스는 대각 성분의 합 반대칭 행렬의 트레이스는 항상 0입니다.

1. 행렬 \(A∈R^{n×n}\) 의 고유값은 항상 실수이다 False

비대칭 행렬의 경우, 복소수 고유값을 가질 수 있습니다.

1. 임의의 행렬 A이 주어졌을 때, \(AA^T\)는 항상 대각화 가능하다. True \(AA^T\) 는 언제나 대칭 행렬

2. 대칭행렬 (Symmetric matrix) \(A∈R^{n×n}\) 의 고유값이 항상 0이면, A는 반드시 영행렬 (zero matrix)이다. True

고유값은 행렬의 대각화 과정에서 대각 행렬의 대각 성분을 형성하고, 이러한 모든 성분이 0이면 행렬 자체가 0 행렬이 되기 때문

1. 행렬 A가 대각화 가능(diagonalizable)이면, \(A^k\)도 대각화 가능한 행렬이 다. (단, k는 임의의 자연수) True 대각화 가능 : \(A\;=\;PDP^{-1}\) , D : 대각 행렬 , P : 대응하는 고유백터 행렬 \(A^k\;=\;PD^kP^{-1}\) 역시 대각화 가능하다.

2. 행렬 \(A∈R^{3×n}\)가 3개의 서로 다른 고유값 λ1,λ2,λ3를 갖고 있다고 하자. 이 때, A는 역행렬을 갖는다. True

A가 3개의 서로 다른 고유값을 가지면, 이 고유값에 대응하는 고유벡터들은 선형 독립 A 는 가역

1. 사영행렬(Projection matrix) \(P\;=\;A(ATA)^{-1}AT\) 형태면, P는 역행렬을 갖는다. False

대각화 여부 · 대각화 실행

\[ \begin{aligned} A \;=\; \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 2\\ \end{bmatrix} \end{aligned} \]

고유값 찾기

\[ \begin{aligned} A-\lambda I \;=\; \begin{bmatrix} 4-\lambda & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4-\lambda & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2-\lambda & 0\\ 1 & 0 & 0 & 2-\lambda\\ \end{bmatrix} \over M_{11} \begin{bmatrix} 4-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \\ \end{bmatrix} M_{12} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2-\lambda & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \\ \end{bmatrix} M_{13} \begin{bmatrix} 0 & 4-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2-\lambda \\ \end{bmatrix} M_{14} \begin{bmatrix} 0 & 4-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} \]

\[det(A)=\sum_{j=1}^n​\;(−1)^{i+j}⋅a_{ij}​⋅M_{ij}\]

\(\lambda\;=\;4,2\)

\[ \begin{aligned} (A-4 I)v \;=\; \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 0\\ 1 & 0 & 0 & -2\\ \end{bmatrix} v \;=\; 0 \\ \\ \Rightarrow v\;=\;t[0,1,0,0]^t\;+\;s[0,0,0,1]^t \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} (A-2 I)v \;=\; \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} v \;=\; 0 \\ \\ \Rightarrow v\;=\;r[1,0,0,-1]^t \end{aligned} \]

2

\(A\in\mathbb R^{3*3}\) \(A^2\;=\;4A\;-\;4I\) 일때 고유값을 모두 찾아라

\(det(A-\lambda I)\;=\;0 \quad \Rightarrow \quad det(A^2-4A+4I)\;=\;0\) \(\lambda_1\;=\;2\) \(\lambda_2\;=\;2\)

\(A\neq2I\) 이지만 \(A^2\;=\;4A\;-\;4I\) 를 만족하는 \(A\in\mathbb R^{3*3}\) 의 예시를 들어라

\[ A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \]

\[ 4A - 4I = 4 \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

\[ A^2 = 4A - 4I \]

5

\[ A\;=\; \begin{bmatrix} 1 &1 &0 \\ 1 &0 &1 \\ 0 &0 &1 \end{bmatrix} \]

\(v1 = \frac{[1, 1, 0]^T}{\sqrt{2}} = [1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}, 0]^T\) 첫 열 벡터를 첫 원소를 제외한 나머지 원소의 2제곱 합의 제곱근 나눠 정규화

\(H1 = I - 2vv^T\)

\[ H1 = \begin{bmatrix} 1-2/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

\[ H1A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

\(v2 = \frac{[0, 1, 0]^T}{\sqrt{1}} = [0, 1, 0]^T\)

변환된 A의 두 번째 열 벡터 를 첫 원소를 제외한 나머지 원소들의 2제곱 합의 제곱근으로 나누어 정규화합니다.

\(H2 = I - 2vv^T\)

\[ H2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1-2/1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

6 크래머 공식

\[ \begin{align} &x\;+\;4y\;-\;z\;=\;1 \\ &x\;+\;y\;+\;z\;=\;0 \\ &2x\;+\;3z\;=\;0 \end{align} \]

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} , b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

\[ \begin{align} &A_x = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \\\\ &A_y = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix} \\\\ &A_z = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align} \]

\(x = det(A_x) / det(A), y = det(A_y) / det(A), z = det(A_z) / det(A)\)

\(det(A_x)\) : 좌대각 우대각 모두 곱하여 더한다.