Q2
2023
1
역행렬을 갖고 있는 행렬 \(A\in \mathbb{R}^{n*n}\) 를 특이값 분해 (singular value decomposition)하면
다음과 같이 표현된다고 한다 \(A\;=\;U\Sigma V^T\)
이를 이용하여 \(A^{-1}\) 와 \(A^{T}\) 의 특이값 분해를 하고, \(U\), \(\Sigma\), \(V\) 로 표현하여라.
풀이
- 특이값 분해에 의해 A 는 다음과 같이 표현된다.
\(A\;=\;U\Sigma V^T\)
여기서 \(U\) 와 \(V\) 는 직교행렬
직교행렬의 성질 : \(U^T\;=\;U^{-1}\) , \(V^T\;=\;V^{-1}\)
-
\(A\) 의 역행렬 \(A^{-1}\) 을 구하기 위해 다음 단계를 따른다.
\(A^{-1}\;=\;(U \Sigma V^T)^{-1}\)
행렬의 곱의 역행렬은 각 행렬의 역행렬을 역순으로 곱한것과 같다.
\(A^{-1}\;=\;(V^T)^{-1}\Sigma^{-1}U^{-1}\)
\(A^{-1}\;=\;V\Sigma^{-1}U^{T}\)
여기서 \(\Sigma^{-1}\) 는 \(\Sigma\) 의 역행렬로 원래의 특이값의 역수를 가진 대각행렬
\(\therefore\quad A^{-1}\;=\;V\Sigma^{-1}U^{T}\)
-
\(A\) 의 전치 \(A^{T}\) 를 구하기 위해 다음 단계를 따른다.
행렬의 전치는 각 행렬의 전치를 역순으로 곱한것과 같다.
\(A^{T}\;=\;(U\Sigma V^T)^T\)
행렬의 전치 성질을 이용한다.
\(A^{T}\;=\;(V^T)^T\Sigma^TU^T\)
직교행렬의 성질을 이용한다.
\(A^T\;=\;V\Sigma^TU^T\)
여기서 \(\Sigma^T\) 는 여전히 대각행렬이며 특이값은 동일하다.
\(\therefore\quad A^T\;=\;V\Sigma^TU^T\)
2
\(A\in \mathbb{R}^{n*n}\) 이고 \(A^2\;=\;A^T\) 를 만족한다고 하자.
\(A\) 의 모든 실수 고유값(real eigenvalue)들을 계산하여라.
단, \(A = I, O\) 인 경우는 고려하지 않는다.
-
고유값의 성질
\(\lambda\) 가 \(A\) 의 고유값이라고 하면 아래 식이 성립한다.
\(Av\;=\;\lambda v\) : \(v\) 는 \(A\) 에 대응하는 고유벡터
-
주어진 조건을 이용하여 \(A\) 의 고유값에 대한 식 유도
\(A^2v\;=\;A(Av)\;=\;A(\lambda v)\;=\;\lambda Av\;=\;\lambda(\lambda v)\;=\;\lambda^2 v\)
\(A^2\;=\;A^T\) 이므로 위의 두 식을 비교하면
\(\lambda^2v\;=\;A^Tv\)
이제 \(A^T\) 에 대해 정리하면 \(v\) 가 \(A\) 의 고유벡터이므로
\(A^Tv\;=\;\lambda^{'}v\) : \(\lambda^{'}\) 는 \(A^T\) 의 고유값
\(A^T\) 의 고유값 = \(A\) 의 고유값
\(\therefore\quad \lambda^2v\;=\;\lambda v\)
-
고유값 계산
\(\lambda^2\;=\;\lambda\)
\(\lambda(\lambda-1)\;=\;0\)
\(\therefore\quad \lambda\;=\;0,1\)
-
결과
행렬 \(A\in \mathbb{R}^{n*n}\) 가 \(A^2\;=\;A^T\) 를 만족할때 \(A\) 의 모든 실수 고유값은 0 또는 1 이다.
3
다음 행렬 A를 특이값 분해 하여라.
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
4 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 9 & 3 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
A^TA
\;=\;
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
4 & 2 & 3 \\
3 & 3 & 9 \\
2 & 4 & 3 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
4 & 3 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
3 & 9 & 3 \\
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
29 & 45 & 25 \\
45 & 99 & 45 \\
25 & 45 & 29
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
1 열 계산 :
\[
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix}
4 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\\
&\begin{bmatrix}
3 & 3 & 9
\end{bmatrix} *
\begin{bmatrix}
4 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}
\\
&\begin{bmatrix}
2 & 4 & 3
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
4*4+2*2+3*3\;=\;29 \\
3*4+3*2+9*3\;=\;45 \\
2*4+4*2+3*3\;=\;25
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix}
4 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\\
&\begin{bmatrix}
3 & 3 & 9
\end{bmatrix} *
\begin{bmatrix}
3 \\
3 \\
9
\end{bmatrix}
\\
&\begin{bmatrix}
2 & 4 & 3
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
4*3+2*3+3*9\;=\;45 \\
3*3+3*3+9*9\;=\;99 \\
2*3+4*3+3*9\;=\;45
\end{aligned}
\]
3 열 계산
\[
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix}
4 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\\
&\begin{bmatrix}
3 & 3 & 9
\end{bmatrix} *
\begin{bmatrix}
2 \\
4 \\
3
\end{bmatrix}
\\
&\begin{bmatrix}
2 & 4 & 3
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
4*2+2*4+3*3\;=\;25 \\
3*2+3*4+9*3\;=\;45 \\
2*2+4*4+3*3\;=\;29
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
det
\begin{bmatrix}
29-\lambda & 25 & 23 \\
25 & 34-\lambda & 39 \\
23 & 39 & 34-\lambda \\
\end{bmatrix}
\;=\;
0
\end{aligned}
\]
-
특이값 계산
\(A^TA\) 의 고유값이 \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) 라면, 행렬 \(A\) 의 특이값 \(\sigma_i\;=\;\sqrt{\lambda_i}\)
여기서 \(\sigma_i\) 는 대각행렬 \(\Sigma\) 의 대각원소이다.
\(\therefore\quad \sigma_1\;=\;\sqrt{\lambda_1}\;,\;\sigma_2\;=\;\sqrt{\lambda_2}\;,\;\sigma_3\;=\;\sqrt{\lambda_3}\)
-
직교행렬 \(V\) 계산
고유값 \(\lambda_i\) 에 대응하는 \(A^TA\) 의 고유벡터를 구하여 직교행렬 \(V\) 를 구성한다.
-
직교행렬 \(U\) 계산
행렬 \(A\) 의 특이값과 대응하는 \(U\) 를 구하기 위해 \(AV_i\;=\;\sigma_iU_i\) 식 이용
\(U_i\) 는 \(A\) 와 \(V_i\) 를 곱하여 특이값으로 나누어 구한다.
\(\therefore\quad U_i\;=\;\frac{1}{\sigma_i}AV_i\)
-
특이값 분해 결과
\(\therefore\quad A\;=\;U\Sigma V^T\)
\(U\) : \(A\) 의 좌측 특이 벡터로 이루어진 직교행렬
\(\Sigma\) : \(A\) 의 특이값을 대각원소로 가지는 대각행렬
\(V\) : \(A^TA\) 의 고유벡터로 이루어진 직교행렬
4
행렬 A가 주어졌을 때, 다음을 답하여라.
\[
A\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]
- 행렬 \(A\) 의 행렬식을 계산하라.
풀이
\(A\) 의 행렬식 : \(det(A)\)
\[
\begin{aligned}
&A
\;=\;
\begin{bmatrix}
B & 0 \\
0 & C \\
\end{bmatrix}
\\
\\
&B
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
\end{bmatrix}
\\
\\
&C
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
-
\(B\) 는 상부 삼각행렬 : 대각 성분의 곱으로 행렬식을 구한다
\(det(B)\;=\;1*1*2*2*2\;=\;8\)
\(det(C)\;=\;(0*0)-(1*0)\;=\;0\)
\(det(A)\;=\;det(B)*det(C)\;=\;0\)
\(\therefore\quad det(A)\;=\;0\)
-
행렬 \(A\) 의 특성 다항식 (characteristic polynomial)을 계산하라.
풀이
특성다항식의 정의 : \(det(A-\lambda I)\;=\;0\) : \(I\) 는 단위행렬
- 단위 행렬 : 대각 성분이 모두 1 이고 다른 성분이 0 인 행렬
\[
A-\lambda I
\;=\;
\begin{bmatrix}
1-\lambda & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1-\lambda & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-\lambda & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2-\lambda & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2-\lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0-\lambda \\
\end{bmatrix}
\]
\[
B-\lambda I
\;=\;
\begin{bmatrix}
1-\lambda & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-\lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2-\lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2-\lambda \\
\end{bmatrix}
\]
\[
C-\lambda I
\;=\;
\begin{bmatrix}
-\lambda & 0 \\
1 & -\lambda \\
\end{bmatrix}
\]
\[det(C-\lambda I)\;=\;(-\lambda)*(-\lambda)-(0*1)\;=\;\lambda^2\]
- \(5X5\) 행렬인 \(B\) 의 행렬식 \(det(B-\lambda I)\) 를 계산한다.
블록 분해 방법을 사용하여 계산한다.
\[
\begin{aligned}
det(B-\lambda I)
\;=\;
&(1-\lambda)det
*
\begin{bmatrix}
1-\lambda & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2-\lambda & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2-\lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2-\lambda \\
\end{bmatrix}
-1
*
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2-\lambda & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2-\lambda & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2-\lambda \\
\end{bmatrix}
\\
\\
\rightarrow\quad
&det
\begin{bmatrix}
2-\lambda & 1 & 0 \\
0 & 2-\lambda & 1 \\
0 & 0 & 2-\lambda \\
\end{bmatrix}
\;=\;
(2-\lambda)^3
\end{aligned}
\]
-
특성다항식
\(det(A-\lambda I)\;=\;det(B-\lambda I)*det(C-\lambda I)\;=\;((1-\lambda)(2-\lambda)^3-(2-\lambda)^3)*\lambda^2\)
\(det(A-\lambda I)\;=\;(1-\lambda + (2-\lambda)^3-(2-\lambda)^3)*\lambda^2\;=\;(1-\lambda)(2-\lambda)^3\lambda^2\)
\(\therefore\quad det(A-\lambda I)\;=\;(1-\lambda)(2-\lambda)^3\lambda^2\;=\;0\)
-
\(A\) 의 고유값 과 고유벡터를 구하라
이때 모든 고유값에 대하여 모든 entry 들이 -1,0,1 인 고유벡터들만 답으로 인정한다.
풀이
-
특성 방정식 · 고유값 구하기
\(\lambda\;=\;1,2,0\)
-
각 고유값에 대해 \((A-\lambda I)v\;=\;0\) 을 만족하는 \(v\) 를 구한다.
\(\lambda\;=\;1\) 일 경우
\[
\begin{aligned}
A-I
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
\end{bmatrix}v_1
\;=\;
0
\end{aligned}
\]
- 행렬 연산으로 풀면 고유벡터 \(v\) 를 얻을 수 있다.
\[
\begin{aligned}
v_1
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\(\lambda\;=\;2\) 일 경우
\[
\begin{aligned}
A-2I
\;=\;
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\
\end{bmatrix}v_2
\;=\;
0
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
v_{21}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
-1 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\quad
v_{22}
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
-1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\quad
v_{23}
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
-1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\(\lambda\;=\;0\) 일 경우
\[
\begin{aligned}
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\rightarrow
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}v_3
\;=\;
0
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
v_{31}
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{bmatrix}
\quad
v_{32}
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
행렬연산 예제
\[
\begin{aligned}
A\;=\;
\begin{bmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 고유값 계산
특성방정식 : \(det(A-\lambda I)\;=\;0\)
\[
\begin{aligned}
A-\lambda I
\;=\;
\begin{bmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
-
\lambda
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
4-\lambda & 1 \\
2 & 3-\lambda
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
det(A-\lambda I)
\;=\;
\begin{vmatrix}
4-\lambda & 1 \\
2 & 3-\lambda
\end{vmatrix}
\;=\;
(4-\lambda)(3-\lambda)-(2*1)
\;=\;
\lambda^2-7\lambda+10
\;=\;
0
\end{aligned}
\]
\(\lambda\;=\;{7\pm\sqrt{49-40} \over 2}\;=\;\frac{7\pm3}{2}\) : 근의 공식 \(x\;=\;\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
\(\therefore\quad \lambda \;=\; 5,2\)
\[
\begin{aligned}
A-5I
\;=\;
\begin{bmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
5 & 0 \\
0 & 5
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
4-5 & 1 \\
2 & 3-5
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -2
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\((A-5I)v\;=\;0\)
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
2 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_{11} \\
v_{12}
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
이 행렬의 해 \(v\) 를 구하기 위해 연립방정식을 푼다.
\[
\begin{aligned}
\begin{cases}
-&1v_{11}\;&+\;&1v_{12}\;&=\;0
\\
&2v_{11}\;&-\;&2v_{12}\;&=\;0
\end{cases}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
v_{11}\;=\;v_{12}
\\
\\
\therefore\quad v_{1}\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
A-2I
\;=\;
\begin{bmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{bmatrix}
-
\begin{bmatrix}
2 & 0 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
4-2 & 1 \\
2 & 3-2
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\((A-2I)v\;=\;0\)
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_{21} \\
v_{22}
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
이 행렬의 해 \(v\) 를 구하기 위해 연립방정식을 푼다.
\[
\begin{aligned}
\begin{cases}
&2v_{21}\;&+\;&v_{22}\;&=\;0
\\
&2v_{21}\;&+\;&v_{22}\;&=\;0
\end{cases}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
&v_{22}\;=\;-2\;v_{21}
\\
\\
\therefore\quad &v_{2}\;=\;
\begin{bmatrix}
v_{21} \\
v_{22}
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
v_{21} \\
-2v_{21}
\end{bmatrix}
\;=\;
v_{21}
\begin{bmatrix}
1 \\
-2
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
-2
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 고유벡터는 크기에 상관없이 방향을 나타낸다. 즉 \(v_{21}\) 을 소거 가능하다.
5
행렬 \(A\) 의 행렬식 \(def(A)\) 가 주어졌을때 행렬 \(B\) 의 행렬식 \(def(B)\) 를 계산하라.
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{aligned}
def(A)\;=\;6
\end{aligned}
\]
\[
B
\;=\;
\begin{bmatrix}
2a & 2d & 2g \\
b-c & e-f & h-i \\
c-a & f-d & i-g
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{aligned}
def(B)\;=\;?
\end{aligned}
\]
풀이
행렬 \(B\) 는 행렬 \(A\) 를 변형하여 만들어졌다.
- \(B\) 첫번째 행은 \(A\) 의 첫번째 행의 두 배
\[
\begin{bmatrix}
2a & 2d & 2g
\end{bmatrix}
\;=\;
2
\begin{bmatrix}
a & d & g
\end{bmatrix}
\]
행렬의 한 행을 $k$ 배 하면 행렬식도 $k$ 배 된다.
$def(B)\;=\;2def(A)$
\(\therefore\quad def(B)\;=\;12\)
6
자연수 n이 홀수라고 하자.
\(A\in \mathbb{R}^{n*n}\) 이 \(A^T\;=\;A\) 를 만족할 때, \(det(A)\)을 계산하여라.
풀이
위 조건에서 \(A\) 는 대칭행렬
\(A\;=\;Q\Lambda Q^T\) :: \(\Lambda\) : \(A\) 의 고유값들로 이루어진 대각행렬
\(def(A)\;=\;def(Q\Lambda Q^T)\)
직교행렬의 행렬식은 1 · -1
\(Q\) · \(Q^T\) 의 행렬식은 다음과 같다.
\(def(Q)\;=\;1\;,\;-1\)
\(def(Q^T)\;=\;(def(Q))^T\;=\;def(Q)\)
\(def(A)\;=\;def(Q)def(\Lambda)def(Q^T)\)
\(def(A)\;=\;def(Q)^2def(\Lambda)\) :: \(def(Q)^2\;=\;1\)
\(def(A)\;=\;def(\Lambda)\)
- 대각행렬 \(\Lambda\) 의 행렬식
대각행렬 \(\Lambda\) 의 행렬식은 대각성분의 곱
\(\Lambda\) 의 행렬식은 \(A\) 의 고유값들의 곱과 같다.
\(def(\Lambda)\;=\;\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\)
대칭행렬 \(A\) 의 고유값은 실수이다.
\(n\) 이 홀수일 때, \(A\) 의 고유값 중 적어도 하나는 0 이어야 한다.
\(because\) 고유값이 0 이 아닌경우, 고유값들의 부호는 모두 양수이거나 음수여야 한다.
그러나 고유값이 실수 이고 홀수 개수의 고유값이 존재하면
고유값들의 곱은 부호가 양수도 음수도 될 수 없다.
따라서 고유값 중 하나는 0 이 된다.
고유값중 하나가 0 이므로
\(\therefore\quad def(A)\;=\;0\)
7
행렬 \(B\in R^{3*3}\) 의 특성다항식이 \(f(\lambda)\;=\;\lambda^3\;-\;5\lambda^2\;-11\lambda\;+15\)라고 할 때 다음을 답하여라.
- \(det(B^3)\)를 계산하시오.
행렬 \(B\) 의 특성다항식 \(f(\lambda)\) 의 상수항이 \(def(B)\) 이다.
\(\therefore\quad def(B^3)\;=\;15^3\)
- \(tr(B^3)\)를 계산하여라.
근과 계수사이의 관계 · \(a^3+b^3+c^3−3abc = (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 −ab−bc−ca)\) 이용 \(tr(A)\) 는 행렬 \(A\) 의 대각성분들의 합이다.
행렬 \(B\) 의 고유값을 \(\lambda_1\),\(\lambda_2\),\(\lambda_3\) 이라고 한다면.
특성 다항식의 근이 고유값 이므로
다음과 같은 근과 계수 사이의 관계를 이용하여 고유값의 합 과 곱을 알 수 있다.
\(f(\lambda)\;=\;(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)(\lambda-\lambda_3)\;=\;\lambda^3-(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)\lambda^2+(\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1)\lambda-(\lambda_1\lambda_2\lambda_3)\)
\(tr(B^3)\;=\;\lambda_1^3\lambda_2^3\lambda_3^3\)
고유값에 대한 관계식 사용
\(\lambda_1^3\lambda_2^3\lambda_3^3-3\lambda_1\lambda_2\lambda_3\;=\;(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)((\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)^2-3(\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_3\lambda_1))\)
- \(\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3-3(-15)\;=\;5(5^2-3(-11))\)
- \(\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3+45\;=\;5(25+33)\)
- \(\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3+45\;=\;5*58\)
- \(\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3+45\;=\;290\)
- \(\lambda_1^3+\lambda_2^3+\lambda_3^3\;=\;290-45\;=\;245\)
\(\therefore\quad tr(B^3)\;=\;245\)
8
행렬 \(B\) 를 QR 분해 하여라
\[
B
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 2 \\
2 & -1 & 3
\end{bmatrix}
\in
\mathbb{R}^{3*3}
\]
풀이
- \(Q\) : 직교행렬
-
\(R\) : 상삼각행렬
-
Gram-Schmidt 직교화 과정
행렬 \(B\) 의 열벡터들을 \(b_1\),\(b_2\),\(b_3\) 라 한다면
\[
\begin{aligned}
b_1
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
\quad
b_2
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
\quad
b_3
\;=\;
\begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
u_1\;=\;
b_1
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
\quad
\end{aligned}
\]
- 직교벡터 \(u_2\) 구하기
\(b_2\) 에서 \(u_1\) 성분 제거
\[
\begin{aligned}
u_2\;=\;b_2-proj_{u_1}b_2
\\
\\
proj_{u_{1}}b_2\;=\;{u_1^Tb_2 \over u_1^Tu_1}u_1
\end{aligned}
\]
\(u_1^Tb_2\) 계산
\[
\begin{aligned}
u_1^Tb_2\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{bmatrix}
\;=\;
2(1)+1(0)+2(-1)
\;=\;
0
\end{aligned}
\]
\(u_1^Tu_1\) 계산
\[
\begin{aligned}
u_1^Tu_1\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
\;=\;
2(2)+1(1)+2(2)
\;=\;
9
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
proj_{u_{1}}b_2
\;=\;
\frac{0}{9}u_1
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
u_2
\;=\;
b_2
\;-\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 직교벡터 \(u_3\) 구하기
\(b_3\) 에서 \(u_1\) · \(u_2\) 성분 제거
\[
\begin{aligned}
&u_3
\;=\;
b_3
\;-\;
proj_{u_{1}}b_3
\;-\;
proj_{u_{2}}b_3
\\
\\
&proj_{u_{1}}b_3
\;=\;
{u_1^Tb_3 \over u_1^Tu_1}u_1
\quad\quad
proj_{u_{2}}b_3
\;=\;
{u_2^Tb_3 \over u_2^Tu_2}u_2
\end{aligned}
\]
\(u_1^Tb_3\) 계산
\[
\begin{aligned}
&u_1^Tb_3
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}
\;=\;
2(-1)+1(2)+2(3)
\;=\;
6
\\
\\
&proj_{u_1}b_3
\;=\;
\frac{6}{9}u_1
\;=\;
\frac{2}{3}
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
\frac{4}{3} \\
\frac{2}{3} \\
\frac{4}{3}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\(u_2^Tb_3\) 계산
\[
\begin{aligned}
&u_2^Tb_3
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}
\;=\;
1(-1)+0(2)+(-1)(3)
\;=\;
-4
\end{aligned}
\]
\(u_2^Tu_2\) 계산
\[
\begin{aligned}
&u_2^Tu_2
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
\;=\;
1(1)+0(0)+(-1)(-1)
\;=\;
2
\\
\\
&proj_{u_2}b_3
\;=\;
-\frac{4}{2}u_2
\;=\;
-2
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
2
\end{bmatrix}
\\
\\
\\
\\
&u_3
\;=\;
b_3
\;-\;
\begin{bmatrix}
\frac{4}{3} \\
\frac{2}{3} \\
\frac{4}{3}
\end{bmatrix}
\;-\;
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
2
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
-1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}
\;-\;
\begin{bmatrix}
\frac{4}{3} \\
\frac{2}{3} \\
\frac{4}{3} \\
\end{bmatrix}
\;-\;
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
2
\end{bmatrix}
\\
&\quad
\;=\;
\begin{bmatrix}
-1-\frac{4}{3}+2 \\
2-\frac{2}{3} \\
3-\frac{4}{3}-2
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
\frac{2}{3} \\
\frac{4}{3} \\
\frac{2}{3} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 정규화
직교 벡터들을 정규화 하여 \(Q\) 의 열 벡터로 만든다.
\[
\begin{aligned}
q_1
\;=\;
{u_1 \over \parallel u_1 \parallel }
\;=\;
\frac{1}{3}
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
\frac{2}{3} \\
\frac{1}{3} \\
\frac{2}{3} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
q_2
\;=\;
{u_2 \over \parallel u_2 \parallel }
\;=\;
\frac{1}{\sqrt 2}
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
-1
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt 2} \\
0 \\
-\frac{1}{\sqrt 2} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
q_3
\;=\;
{u_3 \over \parallel u_3 \parallel }
\;=\;
\frac{1}{ \sqrt{( {\frac{2}{3}})^2 + ( {\frac{4}{3}})^2 + ( {\frac{2}{3}})^2} }
\begin{bmatrix}
\frac{2}{3} \\
\frac{4}{3} \\
\frac{2}{3} \\
\end{bmatrix}
\;=\;
\frac{1}{ \sqrt{\frac{12}{9}} }
\begin{bmatrix}
\frac{2}{3} \\
\frac{4}{3} \\
\frac{2}{3} \\
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt 2} \\
\frac{2}{\sqrt 6} \\
\frac{1}{\sqrt 6} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
Q
\;=\;
\begin{bmatrix}
q_1 & q_2 & q_3
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 6} \\
\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{\sqrt 6} \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 6}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
R\;=\;Q^TB
\]
\[
\begin{aligned}
R
\;=\;
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 1 \\
0 & \sqrt 2 & -\sqrt 2 \\
0 & 0 & \sqrt 2
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
B
\;=\;
QR
\;=\;
\begin{bmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 6} \\
\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{\sqrt 6} \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 6} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 1 \\
0 & \sqrt 2 & -\sqrt 2 \\
0 & 0 & \sqrt 2
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
2022
1
\(I_n\)은 \(n\) 차원 항등행렬 (Identity matrix)이다.
다음 명제의 True/False 여부를 답하여라.
-
\(AB=BA\) 가 성립하는가?
False
일반적으로 행렬 \(A\)와 \(B\) 는 교환법칙을 만족하지 않는다.
- 예외
\(A\) · \(B\) 가 모두 대각행렬
-
\(A^2\;=\;I_n\) 일때 \(A\;=\;I_n\) 이거나 \(A\;=\;-I_n\) 인가?
False
\(A\) 가 \(I_n\) · \(-I_n\) 외에도 다른 형태 일 수 있다.
- \(A^2\;=\;I\) 를 만족하지만 \(A\) 는 \(I_n\) · \(-I_n\) 이 아니다.
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\]
-
\(C\in \mathbb{R}^{m*n}\) 이라고 하자. (단, \(m<n\) )
\(Cx\;=\;0\) 이면, \(x\) 는 반드시 0 벡터 인가?
False
\(m<n\) : \(C\) 의 \(null\;space\) 가 0 이 아닌 벡터를 포함 할 수 있다.
\(\therefore\quad Cx\;=\;0\) 을 만족하는 \(x\;\neq\;0\) 이 존재 할 수 있다.
-
주어진 식 \(Ax\;=\;b\) 의 첨가행렬 (augmented matrix)의 Pivot 이
마지막 열에 존재한다면, \(Ax\;=\;b\) 의 해는 존재하지 않는가?
True
마지막 열에 Pivot 이 존재한다면
\(b\) 가 \(A\) 의 \(Column\;Space\) 에 속하지 않는다.
\(\therefore\quad Ax\;=\;b\) 는 해가 존재하지 않는다.
-
\(A\) , \(B\) 가 역행렬을 가진다면 \((AB)^{-1}\;=\;A^{-1}B^{-1}\) 가 성립하는가?
False
올바른 역행렬 계산 : \((AB)^{-1}\;=\;B^{-1}A^{-1}\)
행렬의 곱의 역행렬은 각 행렬의 역행렬을 순서를 뒤집어 곱한것과 같다.
-
행렬 \(A\in \mathbb{R}^{n*n}\) 의 영공간 (null space)가 \(N(A)\;=\;\{0\}\) 라고 하자.
이 때 모든 \(b\in \mathbb{R}^{n}\) 에 대해서, \(Ax\;=\;b\) 를 만족하는 x가 존재하는가?
True
\(N(A)\;=\;\{0\}\) : \(A\) 가 전단사 (Invertible) 임을 의미한다.
\(\therefore\quad b\in \mathbb{R}^n\) 에 대해 유일해 \(x\;=\;A^{-1}b\) 가 존재한다.
-
세 벡터 \(v_1\),\(v_2\),\(v_3\) 중 고른 임의의 두 벡터는 항상 1차 독립을 만족할 때
이때 세 벡터는 1차 독립인가?
False
임의의 두 벡터가 1차 독립이더라도.
세 벡터가 1차 독립임이 성립하지 않는다.
\(v_1\) , \(v_2\) , \(v_3\) 가 모두 같은 평면에 있을 수 있다.
-
\(A\in \mathbb{R}^{m*n}\) 의 Pivot 의 개수가 \(m\) 일때 \(A\) 의 \(Column\) 들은 1차 독립인가?
False
Pivot 의 개수가 \(m\) : \(A\) 의 rank 가 \(m\) 이다.
이는 열이 \(m\) 개 모두 1차 독립임을 보장하지 않는다.
\(A\) 의 열이 \(n\) 개 임을 고려하면 \(m<n\) 이다.
-
\(A\in \mathbb{R}^{m*n}\) 의 Pivot 의 개수가 \(n\) 일때 \(A\) 의 \(Column\) 들은 1차 독립인가?
True
Pivot 의 개수가 \(n\) : \(A\) rank 가 \(n\) 이다.
이는 \(A\) 의 열이 1차 독립임을 나타낸다.
-
임의의 행렬 \(A\) 에 대해 \(\mathbb{C}(A)\;=\;R(A^T)\) 가 성립하는가?
True
\(\mathbb{C}(A)\) : \(A\) 의 \(Column\;Space\)
\(\mathbb{R}(A^T)\) : \(A\) 의 \(Row\;Space\) 의 span 을 나타낸다.
이 둘은 항상 동일하다.
-
\(\mathbb{R}^3\) 상 두 벡터 \(v_1\) , \(v_2\) 가 주어질때 두 벡터로 만들어진 벡터공간은 항상 평면인가?
True
\(\mathbb{R}^3\) 에서 두 벡터로 span 한 공간은 두 벡터가 평행하지 않은 이상 항상 평면이다.
-
\(AB\;+\;B^TA^T\) 항상 대칭행렬 (Symmetric Matrix) 인가?
True
\((AB+B^TA^T)^T\;=\;B^TA^T+(AB)^T\;=\;B^TA^T+B^TA^T\;=\;B^TA^T+AB\)
이는 대칭이다.
-
\(\{\;(\;x\;,\;y\;)\;:\;x^2\;+\;y^2\;=\;0\;\}\) 은 \(\mathbb{R}^2\) 의 부분공간 (Subspace) 인가?
False
이 집합은 단 하나의 점 \((0,0)\) 만 포함하고
벡터공간의 정의 : 덧셈과 스칼라 곱셈에 닫혀있음 을 만족하지 않는다.
-
두 벡터공간의 교집합은 벡터공간인가?
True
두 벡터공간의 교집합은 다시 벡터공간이 된다.
-
두 벡터공간의 공집합은 벡터공간인가?
False
두 벡터공간의 교집합이 공집합인 경우는 존재하지 않는다.
공집합은 벡터 공간의 요구조건 을 만족하지 않는다.
2
행렬 \(A\) 가 Invertible 인지 아닌지 확인하고, 참이라면 역행렬 (Inverse Matrix)를 계산하라.
\[
\begin{aligned}
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
det(A)
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\;=\;
2det
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\;-\;
(-1)det
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
작은 3X3 행렬의 행렬식 계산
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\;=\;
2det
\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}
\;-\;
(-1)det
\begin{bmatrix}
-1 & -1 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
작은 2X2 행렬의 행렬식 계산
\[
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix}
2 & -1 \\
-1 & 2
\end{bmatrix}
\;=\;
2(2)-(-1)(-1)
\;=\;
4-1
\;=\;
3
\\
\\
&\begin{bmatrix}
-1 & -1 \\
0 & 2
\end{bmatrix}
\;=\;
-1(2)-(-1)(0)
\;=\;
-2
\end{aligned}
\]
작은 3X3 행렬식 계산의 결과
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 2 \\
\end{bmatrix}
\;=\;
2(3)-(-1)(-2)
\;=\;
4
\end{aligned}
\]
본래의 4X4 행렬 $A$ 의 행렬식 계산
$$
\begin{aligned}
det(A)
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 \
-1 & 2 & -1 & 0 \
0 & -1 & 2 & -1 \
0 & 0 & -1 & 2 \
\end{bmatrix}
\;=\;
2(4)-(-1)(-1)
\;=\;
7
\end{aligned}
$$
\[
\begin{aligned}
{[A|I]} \rightarrow {[I|A^{-1}]}
\end{aligned}
\]
행렬 $A$ 와 항등행렬 $I$ 를 첨가하여 $A$ 를 단위 행렬로 변환하는 과정에서 $A^{-1}$ 계산
\[
\begin{aligned}
{[A|I]}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 & | & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
첫번째 열을 1 로 만든다.
\[
\begin{aligned}
{[A|I]}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 & | & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
두번째 열을 1로 만든다.
\[
\begin{aligned}
{[A|I]}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 2 & -1 & 0 & | & \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 & | & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
세번째 열을 1로 만든다.
\[
\begin{aligned}
{[A|I]}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 & | & 0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
마지막 열을 1로 만든다.
\[
\begin{aligned}
{[A|I]}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
$A^{-1}$ 을 도출한다.
\[
\begin{aligned}
{[A|I]}
\;=\;
\begin{bmatrix}
\frac{3}{4} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
-\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
3
다음 1차식들의 시스템이 주어졌다.
\[
\begin{aligned}
2&x_1 &+ &x_2 &- &x_3 &+ &3x_4 &= &1 \\
&x_1 &- &x_2 &- &2x_3 &+ &x_4 &= &2 \\
2&x_1 &\; &\; &- &x_3 &+ &3x_4 &= &3
\end{aligned}
\]
-
첨가행렬 (Augmented Matrix) 를 구하고 이를 통해 위 시스템의 해를 찾아라
계수 행렬 \(A\) 와 상수항 벡터 \(b\) 를 구성한다.
\[
\begin{aligned}
&A
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & 3 \\
1 & -1 & -2 & 1 \\
2 & 0 & -1 & 3
\end{bmatrix}
\\
\\
&b
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
첨가행렬 구성
\[
\begin{aligned}
{[A|b]}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -1 & 3 & | & 1 \\
1 & -1 & -2 & 1 & | & 2 \\
2 & 0 & -1 & 3 & | & 3 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
첨가행렬 변형 (가우스-조던 소거법)
기약행 사다리꼴 행렬(RREF : Reduced Row Echelon Form)
: 대각성분 = 1 , 나머지 성분 = 0
- 피벗($Row_1$) 열의 피벗을 제외한 원소를 0 으로 만든다.
이때 각 행에서 피벗 행의 적절한 배수를 뺀다.
$\frac{1}{2}Row_1$
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} \\
1 & -1 & -2 & 1 & | & 2 \\
2 & 0 & -1 & 3 & | & 3 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
$Row_2-Row_1$
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & | & \frac{3}{2} \\
2 & 0 & -1 & 3 & | & 3 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
$Row_3-2Row_1$
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & | & \frac{3}{2} \\
0 & -1 & 0 & 0 & | & 2 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 새로 선택한 Pivot 을 1로 만든다.
$-\frac{2}{3}Row_2$
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} & | & -1 \\
0 & -1 & 0 & 0 & | & 2 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 피벗($Row_2$) 열의 피벗을 제외한 모든 원소를 0 으로 만든다.
이때 각 행에서 피벗 행의 적절한 배수를 뺀다.
$Row_3+Row_2$
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{1}{2} \\
0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & | & 1 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
$Row_1-\frac{1}{2}Row_2$
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & \frac{4}{3} & | & 1 \\
0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & | & 1 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 피벗($Row_3$) 열의 피벗을 제외한 모든 원소를 0 으로 만든다.
이때 각 행에서 피벗 행의 적절한 배수를 뺀다.
$Row_1+Row_3$
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{5}{3} & | & 2 \\
0 & 1 & 1 & \frac{1}{3} & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & | & 1 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
$Row_2-Row_3$ : RREF
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \frac{5}{3} & | & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & | & -2 \\
0 & 0 & 1 & \frac{1}{3} & | & 1 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- Augmented Matrix 에서 Privot 들을 모두 서술하시오.
\(\therefore\quad(1,1)\) , \((2,2)\) , \((3,3)\)
4
행렬 \(A\) 를 LDU 분해 하라.
\[
\begin{aligned}
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1 \\
2 & 8 & 4 \\
-1 & 3 & 4 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\(L\) : 하삼각 행렬
\(D\) : 대각행렬
\(U\) : 상삼각 행렬
\[
\begin{aligned}
&U
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1 \\
0 & u_{22} & u_{32} \\
0 & u{23} & u_{33}
\end{bmatrix}
\\
\\
&L
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
l_{21} & 1 & 0 \\
l_{31} & l_{32} & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
-
\(Col_2,Col_3\in L\) 과 \(Row_2\in U\) 설정
\(A-L*U\;=\;0\)
두번째 행을 계산하기 위해 \(L\) 의 두번째 열 설정
첫 행 · 열 을 이용하여 \(U\) 의 두번째 행 설정
두 번째 행을 계산하기 위해 첫 번째 열을 사용하여 나머지 요소를 조정
\(Row_2\;=\;Row_2-2*Row_1\rightarrow \;{[0\;2\;6]}\) : \(l_{21}\;=\;2\)
\(Row_3\;=\;Row_3-(-1)*Row_1\;\rightarrow\;{[0\;6\;3]}\) : \(l_{31}\;=\;(-1)\)
\[
\begin{aligned}
&U
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1 \\
0 & 2 & 6 \\
0 & u_{32} & u_{33}
\end{bmatrix}
\\
\\
&L
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
-1 & l_{32} & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
&U
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1 \\
0 & 2 & 6 \\
0 & 0 & -15
\end{bmatrix}
\\
\\
&L
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
-1 & 3 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- \(U\;=\;U^{'}D\) 설정 : 대각행렬 구하기
\(D\) : \(U\) 의 대각 원소로 이루어진 대각행렬
\(U^{'}\) : 대각 원소가 모두 1인 상삼각행렬
\[
\begin{aligned}
&U
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1 \\
0 & 2 & 6 \\
0 & 0 & -15
\end{bmatrix}
\\
\\
&D
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -15
\end{bmatrix}
\\
\\
&U^{'}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & -1 \\
0 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\(Row\in U^{'}\) 계산 : \(-\frac{1}{15}Row_3\in U\) , \(\frac{1}{2}Row2 \in U\)
\(\therefore\) Pivot 이 1이 아닌 경우 스칼라 곱으로 Pivot 을 1로 맞춘다.
5
행렬 \(A\) 와 벡터 \(b\) 가 주어져있다,
\[
\begin{aligned}
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 4 \\
1 & 3 & 1 & 6 \\
\end{bmatrix}
\quad\quad
b
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
6 \\
7
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
-
\(Ax\;=\;b\) 의 특수 해 (Particular solution) \(x_p\) 를 계산하라.
\[
\begin{aligned}
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 & 2 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 & | & 6 \\
1 & 3 & 1 & 6 & | & 7 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
$Row_3\;=\;Row_3-Row_1$ , $Row_3\;=\;Row_3\;-\;Row_2$
\[
\begin{aligned}
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 & 2 & | & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 & | & 6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 방정식 구하기
\[
\begin{aligned}
\begin{cases}
x_1 & + & 3x_2 & + & 2x_4 & = & 1 \\
\; & \; & x_3 & + & 4x_4 & = & 6
\end{cases}
\end{aligned}
\]
- 자유 변수 설정
$x_2$ 와 $x_4$ 를 자유 변수로 설정한다.
$x_3\;=\;6-4x_4$
$x_1\;=\;1-3x_3-2x_4$
특정해 ($x_p$) : 자유 변수를 0 으로 둔 벡터
\[
x_p
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
6 \\
0
\end{bmatrix}
\]
-
\(A\) 의 영공간 (Null space) 를 계산하라.
- NullSpace : \(Ax\;=\;0\) 을 만족하는 모든 \(x\) 벡터들로 구성된다.
\[
\begin{aligned}
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 일반해 구하기
\[
\begin{aligned}
& x_1\;=\;-3x_2-2x_4
\\
& x_3\;=\;-4x_4
\end{aligned}
\]
자유변수 $x_2$ 와 $x_4$ 에 대한 해 구하기
\[
x
\;=\;
x_2
\begin{bmatrix}
-3 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\;+\;
x_4
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
-4 \\
1
\end{bmatrix}
\]
- 결론
\[
\begin{aligned}
Null(A)
\;=\;
span
\quad
\{
\begin{bmatrix}
-3 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
,
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
-4 \\
1
\end{bmatrix}
\}
\end{aligned}
\]
-
\(Ax\;=\;b\) 의 완전해를 계산하라.
- 완전해 : 특수해 + 영공간의 선형 결합
\(x\;=\;x_p+x_n\)
\(x_p\) : 특정해
\(x_n\) : 영공간의 임의의 원소
\[
\begin{aligned}
x
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
6 \\
0
\end{bmatrix}
\;+\;
x_2
\begin{bmatrix}
-3 \\
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\;+\;
x_4
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
-4 \\
1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
6
행렬 \(A\) 가 역행렬을 갖지 않게 하는 c 를 모두 찾아라,
\[
\begin{aligned}
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & c & c \\
c & c & c \\
8 & 7 & c \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
det(A)
\;=\;
2
\begin{bmatrix}
c & c \\
7 & c
\end{bmatrix}
\;-\;
c
\begin{bmatrix}
c & c \\
8 & c
\end{bmatrix}
\;+\;
\begin{bmatrix}
c & c \\
8 & 7
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
3X3 행렬의 행렬식은 첫 행을 기준으로 전개하여 구한다.
\[
\begin{aligned}
&\begin{bmatrix}
c & c \\
7 & c
\end{bmatrix}
\;=\;
c*c\;-\;c*7\;=\;c^2-7c
\\
\\
&\begin{bmatrix}
c & c \\
8 & c
\end{bmatrix}
\;=\;
c*c-c*8\;=\;c^2-8c
\\
\\
&\begin{bmatrix}
c & c \\
8 & 7
\end{bmatrix}
\;=\;
c*7-c*8\;=\;-c
\\
\\
&det(A)
\;=\;
-c^3+9c^2-14\;=\;0
\\
&\;=\;
-c(c^2-9c+14)\;=\;0
\end{aligned}
\]
$c=0$ 이거나 $c^2-9c+14\;=\;0$ 인 값을 찾는다.
\[c\;=\;{p\pm \sqrt{81-56} \over 2}\;=\;\frac{9\pm5}{2}\]
\therefore \quad c\;=\;0,2,7
$$
7
행렬 \(A\in \mathbb{R}^{m*n}\) 이 주어져 있을때
열공간 (Column space) 과 영공간 (Null space) 이 각각 \(\mathbb{R}^m\) · \(\mathbb{R}^n\) 의 부분공간 임을 보여라.
- 행렬 \(A\) 의 열 공간은 \(A\) 의 열 벡터들의 선형 결합으로 생성되는 공간.
$$
\[\begin{aligned}
Col(A)\;=\;\{Ax\;|\;x\in \mathbb R^n\}
\end{aligned}\]
$$
\(x\) : \(\mathbb R^n\) 의 벡터
열공간이 \(\mathbb R^m\) 의 부분공간임을 보이기 위한 조건
1. 영 벡터가 포함된다. : $Ax\;=\;A0\;=\;0$ 일 경우
2. 임의의 두 벡터의 합이 포함된다.
: $y_1,y_2\in Col(A)$ 라면 $y_1\;=\;Ax_1$ , $y_2\;=\;Ax_2$ 인 $x_1,x_2\in \mathbb R^n$ 이 존재한다.
$\therefore \quad y_1+y_2\;=\;Ax_1+Ax_2\;=\;A(x_1+x_2)$ , $x_1+x_2\in \mathbb R^n$ 이므로 $y_1+y_2\in Col(A)$
3. 임의의 벡터와 스칼라 곱이 포함된다.
: $y\in Col(A)$ 이고 $y\;=\;Ax$ 인 $x\in \mathbb R^n$ 이 존재한다면
임의의 스칼라 $c\in \mathbb R$ 에 대해
$cy\;=\;c(Ax)\;=\;A(cx)$ , $cx\in \mathbb R^n$ 이므로 $cy\in Col(A)$ 이다.
\(\therefore\quad Col(A)\) 는 \(\mathbb R^m\) 의 부분공간이다.
- 영공간 : \(Ax\;=\;0\) 을 만족하는 모든 \(x\) 로 구성된 공간.
$$
\[\begin{aligned}
Null(A)\;=\;\{\;x\in \mathbb R^n\;|\;Ax\;=\;0\;\}
\end{aligned}\]
$$
영공간이 \(\mathbb R^n\) 의 부분공간임을 보이기 위한 조건
1. 영 벡터가 포함된다. : \(Ax\;=\;A0\;=\;0\) 일 경우
2. 임의의 두 벡터의 합이 포함된다.
: \(x_1,x_2\in Null(A)\) 라면 \(Ax_1\;=\;0\) , \(Ax_2\;=\;0\) 이다.
\(\therefore \quad A(x_1+x_2)\;=\;Ax_1+Ax_2\;=\;0\) , \(x_1+x_2\in Null(A)\)
3. 임의의 벡터와 스칼라 곱이 포함된다.
: $x\in Null(A)$ 이고 $Ax\;=\;0$ 라면 임의의 스칼라 $c\in \mathbb R$ 에 대해
$A(cx)\;=\;c(Ax)\;=\;c*0\;=\;0$ , $cx\in Null(A)$ 이다.
\(\therefore\quad Null(A)\) 는 \(\mathbb R^n\) 의 부분공간이다.
8
$$
\[\begin{aligned}
Let\quad A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 & 2 \\
2 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 1 & 3 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}\]
$$
- 행렬 \(A\) 의 행간소사다리꼴 (Reduced row echelon form) \(R\) 을 계산하라.
$$
\[\begin{aligned}
R
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}\]
$$
- 두 부분공간 \(\mathbb{C}(R)\) , \(\mathbb{C}(A)\) 차원 · 기저를 구하라.
\(\mathbb C(R)\) : \(R\) 의 열 벡터들로 생성되는 공간 \(R\) : 단위행렬
-
차원 : \(dim(\mathbb C(R))\;=\;4\)
-
기저 : \(\mathbb C(R)\;=\;\{e_1,e_2,e_3,e_4\}\) \(e_i\) : 단위 벡터
\(\mathbb C(A)\)
-
차원 : \(dim(\mathbb C(A))\;=\;4\)
-
기저 : \(A\) 의 Pivot 열의 열벡터들이 \(\mathbb C(A)\) 의 기저를 이룬다.
\(\mathbb C(A)\;=\;\{\;(1,1,2,0)^T\;,\;(0,1,0,-1)^T\;,\;(1,-1,1,1)^T\;,\;(1,2,0,3)^T\;\}\)
9
- 다음 벡터들이 1차 독립 (linearly independent) 인지 확인하고 이유를 서술하라.
$$
\[\begin{aligned}
v_1
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & -3 & 2
\end{bmatrix}
\\
v_2
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 1 & -3
\end{bmatrix}
\\
v_3
\;=\;
\begin{bmatrix}
-3 & 2 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}\]
$$
- 벡터들의 선형 결합이 0 이 되는 유일한 해가 \(c_1=c_2=c_3=0\) 인지 확인한다.
아래 선형 시스템의 해를 구한다.
$$
\[\begin{aligned}
c_1
&\begin{bmatrix}
1 \\
-3 \\
2
\end{bmatrix}
\;+\;
c_2
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
-3
\end{bmatrix}
\;+\;
c_3
\begin{bmatrix}
-3 \\
2 \\
1
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\\
\\
&\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3\\
-3 & 1 & 2 \\
2 & -3 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c_1 \\
c_2 \\
c_3
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
\end{aligned}\]
$$
$$
\[\begin{aligned}
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -3\\
-3 & 1 & 2 \\
2 & -3 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}\]
$$
위 행렬을 \(A\) 라고 할때 \(det(A)\) 를 계산한다.
$$
\[\begin{aligned}
det(A)
\;=\;
1
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
-3 & 1
\end{bmatrix}
\;-\;
2
\begin{bmatrix}
-3 & 2 \\
2 & 1
\end{bmatrix}
\;+\;
(-3)
\begin{bmatrix}
-3 & 1 \\
2 & -3
\end{bmatrix}
\;=\;
1*7+(-2)*(-7)+(-3)*7\;=\;0
\end{aligned}\]
$$
<font color="#e64980"> 행렬식이 0 이므로 세 벡터는 선형 독립이 아니다.</font>
-
다음 집합이 \(\mathbb{R}^3\) 의 기저(basis) 가 되는지 확인하고 이유를 서술하시오.
\(\mathbb R^3\) 의 기저가 되려면 주어진 벡터 집합이 선형 독립이어야하므로
이 집합은 \(\mathbb R^3\) 의 기저가 될 수 없다.
10
두 부분공간 \(U\), \(V\) 가 다음과 같이 정의되어 있다.
$$
\[\begin{aligned}
&U
\;=\;
\{\;(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\;:\;x_1-x_2+2x_3-x_5\;=\;0\}
\\
&V
\;=\;
\{\;(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\;:\;x_1+x_2-2x_4\;=\;0\}
\end{aligned}\]
$$
부분공간 \(U\) , \(V\) 의 기저 · 차원을 계산하라.
- \(U\) 방정식을 만족하는 \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\) 의 형태를 찾기위해 \(x_1\) 을 다른 변수들로 표현
\[x_1\;=\;x_2-2x_3+x_5\]
이를 통해 자유변수 $x_2,x_3,x_4,x_5$ 를 사용하여 $x_1$ 을 표현 할 수 있다.
\[
(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\;=\;(x_2-2x_3+x_5,x_2,x_3,x_4,x_5)
\]
이를 기저 벡터로 분리한다.
\[
\begin{aligned}
(x_2-2x_3+x_5,x_2,x_3,x_4,x_5)
\;=\;
&x_2(\;\;\;1,1,0,0,0)
\\
\;+\;
&x_3(-2,0,1,0,0)
\\
\;+\;
&x_4(\;\;\;0,0,0,1,0)
\\
\;+\;
&x_5(\;\;\;1,0,0,0,1)
\end{aligned}
\]
예시 :
$x_2-2x_3+x5$ 에서 $x_2$ 의 계수 : 1
$(x_2-2x_3+x_5,x_2,x_3,x_4,x_5)$ 에서 $x_2$ 의 계수 : 1
$U$ 의 기저 $\rightarrow$ { $(1,1,0,0,0)$ , $(-2,0,1,0,0)$ , $(0,0,0,1,0)$ , $(1,0,0,0,1)$ }
$U$ 의 차원 $\rightarrow$ 기저 벡터들의 개수 $=$ $dim(U)\;=\;4$
- \(V\) 방정식을 만족하는 \((x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\) 의 형태를 찾기위해 \(x_1\) 을 다른 변수들로 표현
\[x_1\;=\;-x_2+2x_4\]
이를 통해 자유변수 $x_2,x_3,x_4,x_5$ 를 사용하여 $x_1$ 을 표현 할 수 있다.
\[
(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\;=\;(-x_2+2x_4,x_2,x_3,x_4,x_5)
\]
이를 기저 벡터로 분리한다.
\[
\begin{aligned}
(-x_2+2x_4,x_2,x_3,x_4,x_5)
\;=\;
&x_2(-1,1,0,0,0)
\\
\;+\;
&x_3(\;\;\;0,0,1,0,0)
\\
\;+\;
&x_4(\;\;\;2,0,0,1,0)
\\
\;+\;
&x_5(\;\;\;0,0,0,0,1)
\end{aligned}
\]
$V$ 의 기저 $\rightarrow$ { $(-1,1,0,0,0)$ , $(0,0,1,0,0)$ , $(2,0,0,1,0)$ , $(0,0,0,0,1)$ }
$U$ 의 차원 $\rightarrow$ 기저 벡터들의 개수 $=$ $dim(U)\;=\;4$
개념 정리
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
x_{11} & - & - & - &\cdots & - \\
0 & x_{22} & - & - &\cdots & - \\
0 & 0 & 0 & x_{34} &\cdots & - \\
0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & x_{4n} \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]
- 모두 0 \(Row\) 는 맨 아래에 존재한다.
- 0 이 아닌 행의 선행 계수는 항상 위 행의 0 이 아닌 첫 항목의 오른쪽에 있다.
- Pivot 아래의 모든 열 항목은 0 이다.
REF 에서 Pivot = 1 이고 Pivot 위의 모든 원소들을 0 으로 만들었을 때.
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & - & 0 &\cdots & - \\
0 & 1 & - & 0 &\cdots & - \\
0 & 0 & 0 & 1 &\cdots & - \\
0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & 1 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
\]