4
계산
\[
\begin{cases}
&x &+ &5y &= &9 \\
&4x &+ &3y &= &3
\end{cases}
\quad
\Rightarrow
\begin{bmatrix}
1 &5
\\
4 &3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x
\\
y
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
9
\\
3
\end{bmatrix}
\]
연립 방정식을 행렬로 바꾸어 처리 할 수 있다.
\(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\) 가 주어졌을때 \(\overrightarrow x\) 를 찾는 계산 방법을 알아볼 것이다.
Find \(\overrightarrow x\)
A 가 특별한 형식을 가지고 있을때
참고
\(A^{-1}\;(\;A\;\overrightarrow x\;)\;=\;(\;A^{-1}\;A\;)\;\overrightarrow x\)
\[
\begin{aligned}
&1\;:\;&A\overrightarrow x\;&=\;\overrightarrow b \\
&2\;:\;&A^{-1}A\overrightarrow x\;&=\;A^{-1}\;\overrightarrow b \\
&3\;:\;&I\;\overrightarrow x\;&=\;A^{-1}\;\overrightarrow b \\
&4\;:\;&\;\overrightarrow x\;&=\;A^{-1}\;\overrightarrow b \\
\end{aligned}
\]
\(A\;=\;I\) 일때 \(A\overrightarrow x\;=\;I\;-\;\overrightarrow x=\;\overrightarrow x\)
즉 \(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\) \(\Rightarrow\) \(\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\)
A 가 일반적일때
연립방정식의 기본적 풀이
\[
Case\;1\;
\begin{cases}
&x &- &2y &= &1 \\
&3x &+ &2y &= &11
\end{cases}
\quad
\Rightarrow
\quad
\begin{cases}
&3x &- &6y &= &6 \\
&3x &+ &2y &= &11
\end{cases}
\quad
\Rightarrow
\quad
-8y\;=\;-8
\]
\[
Case\;2\;
\begin{cases}
&3x &- &6y &= &\quad3 \\
&\text{} &\text{} -&8y &= &-\;8
\end{cases}
\quad
\Rightarrow
\quad
y\;=\;1
\quad
\Rightarrow
\quad
3x\;-\;6\;=\;3
\quad
\Rightarrow
\quad
x\;=\;3
\]
\[
\therefore
\quad
\begin{bmatrix}
x=3
\\
y=1
\end{bmatrix}
\]
\(Case\;1\;의\;3x\;처리\;:\;소거\)
\(Case\;2\;:\;대입\)
위의 소거와 대입을 행렬에서 활용하도록 한다.
\[
Main
\begin{cases}
&2x &+ &4y &- &2z &= &2 \quad &Case\;1 \\
&\color{red}4x &+ &9y &- &3z &= &8 \quad &Case\;2 \\
&\color{blue}-2x &\color{yellow}- &\color{yellow}3y &+ &7z &= &10 \quad &Case\;3
\end{cases}
\]
예제
- -2 * \(Case1\) + \(Case2\) : 소거
\[
\begin{cases}
&-4x &- &8y &+ &4z &= &-4 \\
+ &\;\;\;4x &+ &9y &- &3z &= &\;\;\;8 \\
\hline \\
&\quad &\quad &y&+&z&=&\;\;\;4
\end{cases}
\]
\[
Main
\begin{cases}
&\;\;\;2x &+ &4y &- &2z &= &2 \\
&\quad &\quad &y &+ &z &= &4 \\
&-2x &- &3y &+ &7z &= &10 \\
\end{cases}
\]
- \(Case1\) + \(Case3\) : 소거
\[
\begin{cases}
&\;\;\;2x &+ &4y &- &2z &= &2 \\
&-2x &- &3y &+ &7z &= &10 \\
\hline \\
&\quad &\quad &y&+&5z&=&12
\end{cases}
\]
\[
Main
\begin{cases}
&\;\;\;2x &+ &4y &- &2z &= &\;2 \\
&\quad &\quad &y &+ &\;\;z &= &\;4 \\
&\quad &\quad &y &+ &5z &= &12 \\
\end{cases}
\]
\[
Main
\begin{cases}
&\;\;\;2x &+ &4y &- &2z &= &\;\;\;2 \\
&\quad &\quad &y &+ &\;\;z &= &\;\;\;4 \\
&\quad &\quad &\quad &- &4z &= &-8 \\
\hline \\
&\quad &\quad &\quad &\quad &z &= &\;\;\;2 \\
&\quad &\quad &\quad &\quad &y &= &\;\;\;2 \\
&\quad &\quad &\quad &\quad &x &= &-1
\end{cases}
\]
행렬 풀이
\[
A\;:\;
\begin{cases}
&\;\;\;2x &+ &4y &- &2z &= &\;\;2 \\
&\;\;\;4x &+ &9y &- &3z &= &\;\;8 \\
&-2x &- &3y &+ &7z &= &10
\end{cases}
\]
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\;*\;
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2\\
8 \\
10
\end{bmatrix}
\]
- -2 * \(Case1\) + \(Case2\) : 소거
\[
\begin{cases}
&\;\;\;2x &+ &4y &- &2z &= &2 \\
&\quad &\quad &y &+ &z &= &4 \\
&-2x &- &3y &+ &7z &= &10 \\
\end{cases}
\]
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
0 & 1 & 1 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\;*\;
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2\\
4 \\
10
\end{bmatrix}
\]
- \(Case1\) + \(Case3\) : 소거
\[
\begin{cases}
&\;\;\;2x &+ &4y &- &2z &= &\;2 \\
&\quad &\quad &y &+ &\;\;z &= &\;4 \\
&\quad &\quad &y &+ &5z &= &12 \\
\end{cases}
\]
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 5
\end{bmatrix}
\;*\;
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2\\
4 \\
12
\end{bmatrix}
\]
\[
Main
\begin{cases}
&\;\;\;2x &+ &4y &- &2z &= &\;\;\;2 \\
&\quad &\quad &y &+ &\;\;z &= &\;\;\;4 \\
&\quad &\quad &\quad &- &4z &= &-8 \\
\end{cases}
\]
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
\color{blue}2 & \color{blue}4 & \color{blue}-2 \\
\color{yellow}0 & \color{blue}1 & \color{blue}1 \\
\color{yellow}0 & \color{yellow}0 & \color{blue}-4
\end{bmatrix}
\;*\;
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2\\
4 \\
-8
\end{bmatrix}
\]
즉 \(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\) 의 관계를 위와 같이 표현하였고
행렬 부분 을 0 으로 만들며 : 소거
행렬 부분 을 Upper Triangular \((U)\) 라 부른다. : 대입
\[
U
\;=\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} \mathbb R & \color{blue}\mathbb R & \color{blue}\mathbb R \\
\color{yellow}0 & \color{blue}\mathbb R & \color{blue}\mathbb R \\
\color{yellow}0 & \color{yellow}0 & \color{blue}\mathbb R
\end{bmatrix}
\]
\(\therefore\) \(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\) \(\quad\quad\Rightarrow\) \(U\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b^{\;`}\)
\(\overrightarrow b\) : \([2\;\;8\;\;10]\)
\(\overrightarrow b^{\;`}\) : \([2\;\;4\;-8]\)
\(\overrightarrow x\) 는 유지가 되며 \(\overrightarrow b\) 는 \(\overrightarrow b^{\;`}\) 로 값이 바뀌었다.
\(\therefore\) 문제 : \(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\) 는 \(\overrightarrow x\) 를 찾는 것 \(\quad\leftrightarrows\) 문제 : \(U\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b^{\;`}\) 에서 \(\overrightarrow x\) 를 찾는 것
문제를 상호 전환을 하고 나서 \(\overrightarrow x\) 를 찾는다.
\(U\) 예시
\[
U
\;=\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} \mathbb R & \color{blue}\mathbb R & \color{blue}\mathbb R \\
\color{yellow}0 & \color{blue}\mathbb R & \color{blue}\mathbb R \\
\color{yellow}0 & \color{yellow}0 & \color{blue}\mathbb R
\end{bmatrix}
\]
\[
U
\;=\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} 1 & \color{blue} 2 \\
\color{yellow}0 & \color{blue} 3 \\
\end{bmatrix}
\;·\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} 1 & \color{yellow}0 & \color{blue} 1 \\
\color{yellow}0 & \color{blue} 2 & \color{yellow}0 \\
\color{yellow}0 & \color{yellow}0 & \color{blue} 5
\end{bmatrix}
\;·\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} -3 & \color{blue} 5 \\
\color{yellow}0 & \color{blue} 2 \\
\end{bmatrix}
\;·\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} 1 & \color{yellow} 0 \\
\color{yellow}0 & \color{blue} 1 \\
\end{bmatrix}
\;·\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} 1 & \color{yellow} 0 \\
\color{yellow}0 & \color{yellow} 0 \\
\end{bmatrix}
\;·\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} 1 & \color{blue} 1 \\
\color{yellow}0 & \color{yellow} 0 \\
\end{bmatrix}
\]
\(I\in U\) : Identity Matrix 또한 Upper Triangular 이다
즉 대각성분 아래로 0 이면 Upper Triangular
문제
\[
U\;:\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} 1 & \color{blue} 2 \\
\color{yellow}0 & \color{blue} 3 \\
\end{bmatrix}
\;*\;
\;\overrightarrow x\;:\;
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
\;=\;
\;\overrightarrow b\;:\;
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\end{bmatrix}
\;\leftrightarrows\;
\begin{cases}
&x &+ &2y &= &b_1 \quad \Rightarrow \quad x\;&=\;b_1\;-\;\frac{2}{3}b_2 \\
&\quad &+ &3y &= &b_2 \quad \Rightarrow \quad y\;&=\;\frac{1}{3}b_2 \\
\end{cases}
\]
위 문제 같은 경우 항상 해를 유일하게 가지고 있다.
\[
U\;:\;
\begin{bmatrix}
\color{blue} 1 & \color{yellow} 0 \\
\color{yellow}0 & \color{yellow} 0 \\
\end{bmatrix}
\;*\;
\;\overrightarrow x\;:\;
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
\;=\;
\;\overrightarrow b\;:\;
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\end{bmatrix}
\;\leftrightarrows\;
\begin{cases}
&\;\;x &+ &0y &= &b_1 \\
&0x &+ &0y &= &b_2 \\
\end{cases}
\]
이 문제의 경우 두가지 경우로 나누어 볼 수 있다.
\(y\;=\;b_1\)
\(y\;=\;c\;\in\;\mathbb R\)
즉, 해가 무한하다.
\(0x\;+\;0y\;=\;b_2\)
\(b_2\;=\;0\)
즉, 해가 존재하지 않는다.
위 두 문제의 차이점
\[
\begin{aligned}
U\;:\;
&\begin{bmatrix}
\color{yellow} 1 & \color{blue} 2 \\
\color{yellow}0 & \color{yellow} \mathbb R(\varnothing)\\
\end{bmatrix}
\quad &\Rightarrow \color{yellow} \mathbb {Pivot} \color{white}\;:\;2
\\ \\
U^{\;`}\;:\;
&\begin{bmatrix}
\color{yellow} 1 & \color{yellow} 0 \\
\color{yellow}0 & \color{yellow} \mathbb R(0) \\
\end{bmatrix}
\quad &\Rightarrow \color{yellow} \mathbb {Pivot} \color{white}\;:\;1
\end{aligned}
\]
\(\mathbb R\) 이 0 인가 아닌가에 따라 달라지는 해의 개수
초록색으로 표시된 실수를
\(\color{yellow}\mathbb R\;in\;Matrix\) : Pivot 라 부른다.
즉 Pivot 의 개수에 따라 해의 개수가 달라진다.
\(U^{\;`}\) 의 \(\mathbb R\) 은 Pivot 이 아니다. ( 0 일 경우 )
\[
\begin{aligned}
&U\;:\;n\;\mathbb x\;n\quad Matrix\;일때
\\
\\
&\begin{cases}
\color{yellow} Pivot\;\color{white}\in\;U\;=\;n\quad&\Rightarrow\; 해가\;유일하다
\\
\\
\color{yellow} Pivot\;\color{white}\in\;U\;<\;n\quad&\Rightarrow\; 해가\;무한하다
\\
&\Rightarrow\; 해가\;없다.
\end{cases}
\end{aligned}
\]
Reverse Upper Triangular
만약 삼각형의 형태가 반대일 경우,
\[
\begin{cases}
&0x &+ &2y &= &4 \\
&3x &- &2y &= &5 \\
\end{cases}
\quad
\;=\;
\quad
\begin{bmatrix}
\color{yellow} 0 & \color{blue} \;\;2 \\
\color{blue} 3 & \color{blue} -2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
4 \\
5
\end{bmatrix}
\]
아래와 같은 형태로 바꾸어 계산한다.
\[
\begin{cases}
&3x &- &2y &= &5 \\
&0x &+ &2y &= &4
\end{cases}
\quad
\;=\;
\quad
\begin{bmatrix}
\color{blue} 3 & \color{blue} -2 \\
\color{yellow} 0 & \color{blue} \;\;2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
5 \\
4
\end{bmatrix}
\]
\(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\) \(\quad\leftrightarrows\quad\) \(U\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b^{\;`}\) : A 와 U 의 Pivot 는 같다.
Singular & Non-Singular
U : \(n\;\mathbb x\; n\)
- Singular : Pivot 의 개수가 부족할때 (U 의 Pivot의 개수 < n)
- Non-Singular : Pivot 의 개수가 부족할때 (U 의 Pivot의 개수 = n)
Non-Singular : 해가 1개
Singular : 해가 없거나 무한하다.
\[
\begin{aligned}
&U\;:\;n\;\mathbb x\;n\quad Matrix\;일때
\\
\\
&\begin{cases}
Non-Singular
\\
\color{yellow} Pivot\;\color{white}\in\;U\;=\;n\quad&\Rightarrow\; 해가\;유일하다
\\
\\
Singular
\\
\color{yellow} Pivot\;\color{white}\in\;U\;<\;n\quad&\Rightarrow\; 해가\;무한하다
\\
&\Rightarrow\; 해가\;없다.
\end{cases}
\end{aligned}
\]
행렬에서의 소거
예시
\[
b
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 \\
8 \\
10
\end{bmatrix}
\quad
\Rightarrow
\quad
b_{new}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 \\
4 \\
10
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
\color{red}-2 & \color{red}1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 \\
8 \\
10
\end{bmatrix}
\]
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\quad
\Rightarrow
\quad
A_{new}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
0 & 1 & 1 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
\color{red}-2 & \color{red}1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\]
풀이
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
\;=\;
\begin{bmatrix}
2\\
8 \\
10
\end{bmatrix}
\quad
\Rightarrow
\quad
\begin{cases}
&\quad2x &+ &4y &- &2z &= &2 \quad\; Case1\\
&\quad4x &+ &9y &- &3z &= &8 \quad\; Case2\\
&-\;2x &- &3y &+ &7z &= &10 \quad Case3\\
\end{cases}
\]
A 라는 행렬을 B 라는 대입 · 소거 가 끝난 행렬로 바꾸는 방법
연립방정식에 대한 풀이
- \(\mathbb {Result1}\;:\;\mathbb {Case1}\;*\;(-2)\;+\;\mathbb{Case2}\)
\[
\begin{cases}
&-\;4x &- &8y &+ &4z &= &-4 \quad\; &-2*Case1\\
+ &\quad4x &+ &9y &- &3z &= &\;\;\;8 \quad\; &\quad\quad\; Case2\\
\hline
&\quad &\quad &y &+ &z &= &\;\;\;4
\end{cases}
\]
- \(\mathbb {Result\;\;1}\) 대입
\[
\begin{cases}
&\quad2x &+ &4y &- &2z &= &2 &Case1 \\
&\quad &\quad &y &+ &z &= &4 &Result1 \\
&-\;2x &- &3y &+ &7z &= &10 &Case3 \\
\end{cases}
\]
즉, \(\mathbb {Case\;2}\;=\;(-2)\;*\;\mathbb {Case\;1}\;+\;\mathbb{Case\;2}\)
행렬로 이해하는 풀이 (중요)
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\]
- 연립방정식에서 했던것과 같은 방식을 행렬로 풀이한다.
행렬의 "왼쪽에 곱했을때 무슨일이 생길까"
\[
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
p &q & r \\
\end{bmatrix}
&&\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\quad
=
\quad
&&\begin{bmatrix}
u &v & w
\end{bmatrix}
\\
\hline
&\quad1*3 &&\quad\quad\quad3*3 &&\quad1*3
\end{align}
\]
\[
\begin{cases}
&u &= &< &(p,q,r) &, &(\;\;\;2,\;\;\;4,-2) &> &= &\;\;2p &+ &4q &- &2r \\
&v &= &< &(p,q,r) &, &(\;\;\;4,\;\;\;9,-3) &> &= &\;\;4p &+ &9q &- &3r \\
&w &= &< &(p,q,r) &, &(-2,-3,-7) &> &= &-2p &- &3q &+ &7r \\
\end{cases}
\]
- 만약 \(p\;=\;1\;,\;q\;=\;0\;,\;r\;=\;0\) 인 경우 : A 의 1st Row
\[
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
1 &0 & 0 \\
\end{bmatrix}
&\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\quad
&=
&\begin{bmatrix}
2 &4 & -2
\end{bmatrix}
\end{align}
\]
- 만약 \(p\;=\;0\;,\;q\;=\;1\;,\;r\;=\;0\) 인 경우 : A 의 2st Row
\[
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
0 &1 & 0 \\
\end{bmatrix}
&\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\quad
&=
&\begin{bmatrix}
4 &9 & -3
\end{bmatrix}
\end{align}
\]
- 만약 \(p\;=\;0\;,\;q\;=\;0\;,\;r\;=\;1\) 인 경우 : A 의 3st Row
\[
\begin{align}
&\begin{bmatrix}
0 &1 & 0 \\
\end{bmatrix}
&\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\quad
&=
&\begin{bmatrix}
-2 &-3 & 7
\end{bmatrix}
\end{align}
\]
\(p\;=\;-2\;,\;q\;=\;1\;,\;r\;=\;0\) 인 경우와 같이 복잡한 경우
\[
\begin{align}
\begin{bmatrix}
-2 &1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\;*\;
^A
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
\quad
=
\quad
1st\;Row\;:\;
\begin{bmatrix}
-4 & -8 &4
\end{bmatrix}
\;+\;
2nd\;Row\;:\;
\begin{bmatrix}
4 &9 &-3
\end{bmatrix}
\end{align}
\]
일반화
\[
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
\color{red}2 & \color{red}4 & \color{red}-2 &\;:\;Row_1\\
\color{red}4 & \color{red}9 & \color{red}-3 &\;:\;Row_2\\
\color{red}-2 & \color{red}-3 & \color{red}7 &\;:\;Row_3
\end{bmatrix}
\]
\(\color{blue}[\;p\;q\;r\;]\;\color{white}*\;\color{red}A\;\color{white}=\;\color{red}Row_1\;\color{white}*\;\color{blue}p\;\color{white}+\;\color{red}Row_2\;\color{white}*\;\color{blue}q\;\color{white}+\;\color{red}Row_3\;\color{white}*\;\color{blue}r\)
연립방정식의 \(\mathbb {Case\;2}\;=\;(-2)\;*\;\mathbb {Case\;1}\;+\;\mathbb{Case\;2}\) 를 행렬로 표현 한다면
\[
\begin{bmatrix}
-2 &1 & 0 \\
\end{bmatrix}
\;*\;
A
\;=\;
\begin{bmatrix}
0 &1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{align}
\begin{bmatrix}
2 & 4 & -2 \\
4 & 9 & -3 \\
-2 & -3 & 7
\end{bmatrix}
A
=
\quad
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 &0
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
-2 & 1 &0
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
0 & 0 &1
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
A
\quad
=
\quad
\begin{bmatrix}
A:\quad Row _1
\\
-2(A:\quad Row_1)+ (A:\quad Row_2)
\\
A:\quad Row_3
\end{bmatrix}
\end{align}
\]
결론
\[
\begin{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 &0
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
\color{blue}-2 & 1 &0
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
0 & 0 &1
\end{bmatrix}
\end{bmatrix}
A
\quad
\leftrightarrows
\quad
\mathbb{Case\;2}\;=\;(\color{blue}-2\color{white})\;*\;\mathbb {Case\;1}\;+\;\mathbb{Case\;2}
\]
Multiplier
\(\mathbb {Case\;2}\;=\;(\color{blue}-2\color{white})\;*\;\mathbb {Case\;1}\;+\;\mathbb{Case\;2}\)
즉
A 행렬에서 U 로 변환하기 위해
\(A\;\Rightarrow\;B\;\Rightarrow\;C\;\Rightarrow\;\cdots\;\Rightarrow\;U\)
\[
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
1 & 0 &0
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
\color{blue}-2 & 1 &0
\end{bmatrix}
\\
\begin{bmatrix}
0 & 0 &1
\end{bmatrix}
\\
\hline
\\
=\;E\;(Elementary\;Matrix)
\end{aligned}
\]
\(A\;\Rightarrow\;AE\;\Rightarrow\;E^{\;`}(AE)\;\Rightarrow\;\cdots\;\Rightarrow\;U\)
위와 같이 E 를 A 에 계속 곱하여 U 와 같은 형태를 만들어 낸다.
요약
\(A\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b\) \(\quad\quad\Rightarrow\) \(U\overrightarrow x\;=\;\overrightarrow b^{\;`}\)
\(U\) : 는 Upper Triangular 형태
형태를 변환 (\(\mathbb {Case\;2}\;=\;( \color{blue}-2\color{white})\;*\;\mathbb {Case\;1}\;+\;\mathbb{Case\;2}\;\leftrightarrows\;\color{blue}E\color{white}A\) ) 하고 나면
Pivot : U 의 대각 성분 중 '0' 이 아닌 것들
Pivot 을 구할 수 있으며
개수에 따라 해가 결정된다.
\[
\begin{aligned}
&U\;:\;n\;\mathbb x\;n\quad Matrix\;일때
\\
\\
&\begin{cases}
\color{yellow}Non-Singular
\\
\color{yellow} Pivot\;\color{white}=\;n\quad&\Rightarrow\; 해가\;유일하다
\\
\\
\color{yellow}Singular\\
\color{yellow} Pivot\;\color{white}<\;n\quad&\Rightarrow\; 해가\;무한하다
\\
&\Rightarrow\; 해가\;없다.
\end{cases}
\end{aligned}
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