OR 의 분산 유도
\[
\begin{align}
\hat \theta \approx N(\theta, Var(\hat{\theta}))\;\rightarrow\;g(\hat{\theta}) \approx N(g(\theta), [g'(\theta)]^2Var(\hat{\theta}))
\end{align}
\]
2×2 분할표 설정¶
| 사건 발생 | 사건 미발생 | 합계 | |
|---|---|---|---|
| 1군 | \(n_{11}\) | \(n_{12}\) | \(n_{1+}\) |
| 2군 | \(n_{21}\) | \(n_{22}\) | \(n_{2+}\) |
모형 가정¶
- 독립성: 두 군은 서로 독립
- 이항분포: \(n_{11} \sim Bin(n_{1+}, p_1)\), \(n_{21} \sim Bin(n_{2+}, p_2)\)
- 위험률 추정치: \(\hat{p_1} = \frac{n_{11}}{n_{1+}}\), \(\hat{p_2} = \frac{n_{21}}{n_{2+}}\)
- OR 추정치: \(\hat{OR} = \frac{\hat{p_1}/(1-\hat{p_1})}{\hat{p_2}/(1-\hat{p_2})} = \frac{n_{11} \times n_{22}}{n_{12} \times n_{21}}\)
- 로그 변환 함수: \(g(p_1, p_2) = \ln OR = \ln\left(\frac{p_1/(1-p_1)}{p_2/(1-p_2)}\right)\)
로그 변환을 통해 정규 근사 · 선형결합을 기대할 수 있다.
- \(Var(\hat{p_i}) = \frac{p_i(1-p_i)}{n_{i+}}\) (각 확률변수의 분산)
- \(Cov(\hat{p_1}, \hat{p_2}) = 0\) (독립성 가정)
- \(OR = \frac{p_1/(1-p_1)}{p_2/(1-p_2)}\) (모집단 오즈비)
- \(\hat{OR} = \frac{\hat{p_1}/(1-\hat p_1)}{\hat{p_2}/(1-\hat p_2)}\) (표본 오즈비)
- \(\ln \hat{OR} = \ln (\hat{p_1}/(1-\hat p_1)) - \ln (\hat{p_2}/(1-\hat p_2))\)
- \(n_{ij} > 0, 0<p_i<1\)
\((\hat{p_1}, \hat{p_2})^T\)가 근사적으로 정규분포를 따른다고 하자:
\[(\hat{p_1}, \hat{p_2})^T \sim N\left((p_1, p_2)^T, \Sigma\right)\]
\[g(p_1, p_2) = \ln \frac{p_1}{1-p_1} - \ln \frac{p_2}{1-p_2}\]
여기서 공분산 행렬은:
\[\Sigma = \begin{bmatrix}
Var(\hat{p_1}) & Cov(\hat{p_1}, \hat{p_2}) \\
Cov(\hat{p_1}, \hat{p_2}) & Var(\hat{p_2})
\end{bmatrix}\]
독립성 가정에 의해 \(Cov(\hat{p_1}, \hat{p_2}) = 0\)이므로 :
\[\Sigma = \begin{bmatrix}
\frac{p_1(1-p_1)}{n_{1+}} & 0 \\
0 & \frac{p_2(1-p_2)}{n_{2+}}
\end{bmatrix}\]
\[\nabla g = \begin{bmatrix}
\frac{\partial g}{\partial p_1} \\
\frac{\partial g}{\partial p_2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{p_1}+\frac{1}{1-p_1} \\
-(\frac{1}{p_2}+\frac{1}{1-p_2})
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{p_1(1-p_1)} \\
-\frac{1}{p_2(1-p_2)}
\end{bmatrix}
\]
델타 방법에 의해 :
\[Var(g(\hat{p_1}, \hat{p_2})) \approx \nabla g^T \Sigma \nabla g\]
\[
\begin{align}
Var(\ln \hat{OR}) &\approx \begin{bmatrix} \frac{1}{p_1(1-p_1)}, -\frac{1}{p_2(1-p_2)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Var(\hat p_1) & 0 \\ 0 & Var(\hat p_2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{p_1(1-p_1)} \\ -\frac{1}{p_2(1-p_2)} \end{bmatrix}
\end{align}
\]
\[
\begin{align}
Var(\ln \hat{OR})\quad&\approx\quad
\begin{bmatrix}
\frac{1}{p_1(1-p_1)}Var(\hat p_1), & -\frac{1}{p_2(1-p_2)}Var(\hat p_2)
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{1}{p_1(1-p_1)} \\
-\frac{1}{ p_2(1-p_2)}
\end{bmatrix} \\
&\;=\;(\frac{1}{p_1(1-p_1)})^2Var(\hat p_1)\;+\;(\frac{1}{p_2(1-p_2)})^2Var(\hat p_2)
\end{align}
$$\]
\[\begin{align}
Var(\ln \hat{OR})\;\approx\;\frac{1}{n_{1+}p_1(1-p_1)}\;+\;\frac{1}{n_{2+}p_2(1-p_2)}
\end{align}\]
$$ - \(p_1\;\rightarrow\;\hat p_1\;=\;n_{11}/n_{1+}\) - \(p_2\;\rightarrow\;\hat p_2\;=\;n_{21}/n_{2+}\) - \(\hat{Var}(\ln \hat{OR})\) : \(Var(\ln \hat{OR})\) 근사 추정값
이를 추정치로 치환하면: $$
\[\begin{align}
\hat{Var}(\ln \hat{OR})\;\approx\;\frac{1}{n_{1+}\hat p_1(1-\hat p_1)}\;+\;\frac{1}{n_{2+}\hat p_2(1-\hat p_2)}
\end{align}\]
\[
\]
\[\begin{align}
\frac{1}{n_{1+}\hat p_1(1- \hat p_1)}\;=\;\frac{1}{n_{1+}\;*\;\frac{n_{11}}{n_{1+}}*\frac{n_{12}}{n_{1+}}}\;=\;\frac{n_{1+}}{n_{11}n_{12}}\;=\;\frac{1}{n_{11}}+\frac{1}{n_{12}}
\end{align}\]
\[
\]
\[\begin{align}
\frac{1}{n_{2+}\hat p_2(1-\hat p_2)}\;=\;\frac{1}{n_{21}}\;+\;\frac{1}{n_{22}}
\end{align}\]
\[
\]
\[\begin{align}
&\therefore \hat{Var}(\ln \hat{OR})\;=\;\frac{1}{n_{11}}+\frac{1}{n_{12}}+\frac{1}{n_{21}}+\frac{1}{n_{22}}
\end{align}\]
\[
\]
\[\begin{align}
SE(\ln \hat{OR})\;=\;\sqrt{\frac{1}{n_{11}}+\frac{1}{n_{12}}+\frac{1}{n_{21}}+\frac{1}{n_{22}}}
\end{align}\]
$$
OR 의 95% 신뢰구간은 다음과 같이 구할 수 있다.
\(exp(x)=e^x\), \(SE=\sqrt{\hat{Var} (\ln{OR})}\) \(z\) 는 평균이 0이고 분산이 1 인 정규 분포를 따른다.
$$
\[\begin{align}
Z\;=\;{{\ln \hat{OR} -\ln {OR}} \over SE(\ln \hat{OR})}\quad\approx\quad N(0,1)
\end{align}\]
$$
양측 95% 신뢰구간은 \(P(-z \leq Z \geq z)=0.95\) 표준정규분포에서 양 끝단 0.025 근방에 존재하는 z 값은 다음과 같다. \(z_{0.975}=1.96\) $$
\[\begin{align}
CI(95\%)\;&=\;[exp(\ln \hat{OR}-z_{0.975}\sqrt{\hat Var(\ln \hat{ OR})}),exp(\ln \hat {OR}+z_{0.975}\sqrt{\hat Var(\ln \hat{OR})})] \\\\
&=\;[e^{ln{\hat {OR}}}e^{-z_{0.975}SE},e^{ln{\hat {OR}}}e^{z_{0.975}SE}] \\\\
&=\;[\hat {OR}\;e^{-z_{0.975}SE},\hat {OR}\;e^{+z_{0.975}SE}]
\end{align}\]
$$