Repeated Measures ANOVA¶
개념¶
동일한 실험 대상으로 부터 시간, 처리등 조건을 달리하여 반복 측정한 자료
주요 분석 목적¶
- 집단 간 (대조군 vs 실험군) 평균 반응 프로파일 차이 검정
- 시간에 다른 변화패턴을 파악하고 집단간 평균 반응의 차이를 검정한다.
특징¶
- 한 개체에서 얻은 관측치들이 서로 상관됨
- 결측치 발생 가능성이 높음 ( 무응답, 탈락 등 )
- 개인차에 대한 노이즈가 줄어들고 시간, 처리 효과를 명확하게 파악할 수 있다.
\(\therefore\) 단순 ANOVA 로는 검정이 어렵다
예시¶
- 시간 : 동일 환자의 혈압을 0주, 4주, 8주에 반복측정
- 처리 : 동일 개체에 약의 농도를 증가시켜 가면서 반응값 측정
반복 요인이 하나인 반복측정 자료의 형태¶
| 처리 | 개체 | t1 | t2 | \(\cdots\) | tK |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 ~ \(n_1\) | \(y_{111}\) ~ \(y_{1n_11}\) | \(y_{I12}\) ~ \(y_{In_I2}\) | \(\cdots\) | \(y_{11K}\) ~ \(y_{In_1K}\) |
| 2 | 1 ~ \(n_2\) | \(y_{211}\) ~ \(y_{2n_21}\) | \(y_{212}\) ~ \(y_{2n_22}\) | \(\cdots\) | \(y_{21K}\) ~ \(y_{2n_2K}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| I | 1 ~ \(n_I\) | \(y_{I11}\) ~ \(y_{In_I1}\) | \(y_{I12}\) ~ \(y_{In_I2}\) | \(\cdots\) | \(y_{I1K}\) ~ \(y_{In_1K}\) |
구형성 (Sphericity)¶
반복 요인 (수준 K) 에 대해 모든 시점 쌍의 차이 \(Y_K - Y_l\) 의 분산이 동일 - "수준 간 차이" 를 보는데 필요한 정보(대비) 의 분산이 모두 동일 - 복합 대칭성 보다 완화된 조건 - F-stat 이 유효하기 위한 조건
구형성 가정 검정 : Mauchy's Test Of Sphericity - 시간 간 차이들의 분산이 모두 같은가 - 시점 간 차이를 만들어서 그 차이들의 분산이 모두 같은지 검정 - SAS 에서 printe 옵션으로 검정 가능
\(H_0\) : 구형성이 성립한다. \(H_1\) : 구형성이 성립하지 않는다.
반복측정 자료분석을 위한 통계 모형¶
| 접근법 | 가정 | 특징 |
|---|---|---|
| 단변량 분산분석 | 구형성 (Sphericity) | 단순하고 직관적, 결측치 처리 어려움 |
| 다변량 분산분석 | 다변량 정규성 | 구형성 위반시 대안, 검정력 낮음 |
| Mixed Model | 공분산 구조 명시 | 유연성 높고, 분균형과 결측치 처리 가능 |
반복측정 분산 분석 Repeated Measures ANOVA¶
보통의 분산분석 모형에 대체 효과를 나타내는 항을 추가한 모형 반복 요인이 하나인 경우 : 시간이나 조건이 하나의 축으로만 반복되는 상황 구형성 : 모든 시점간의 차이의 분산이 동일하다.
가장 전통적인 방법, 단변량 정규분포를 따른다. 구형성 가정시에서 진행된다.
- \(y_{ijk}\) : 처리 i 에서 j 번째 개체의 시점 k 에 측정한 반응 측정치
- \(\mu\) : 반응 측정치 \(y_{ijk}\) 의 전체 평균
- \(\alpha_{i}\) : i 번째 처리의 효과
- \(\beta_{ij}\) : 처리 i 에서 j 번재 개체의 효과
- \(\gamma_k\) : 시첨 k 의 효과
- \(\delta_{ik}\) : 처리 i 와 시점 k 의 교호작용 효과
- \(\epsilon_{ij} = (\epsilon_{ij1} \cdots \epsilon_{ijK})\) : 오차항
검정 가능 종류¶
- 집단간 평균차이 검정
- 시간에 따른 변화 검정
- 시점과 처리간 상호작용
모형 가정¶
오차항 \(\epsilon_{ij}\) 는 서로 독립이고 평균 0 인 다변량 정규분포 오차항의 공분산 행렬 - 구형성 (Sphericity) : 각 시점간의 차이 (\(\gamma_k\))가 모두 분산이 동일하다. 이 가정이 만족되면 반복측정 ANOVA 를 쓸때 F-stat 이 올바르게 작동한다. - 복합 대칭성 (Compounded Symmetry) : 모든 시점의 분산이 동일하고 시점간의 공분산 역시 일정하다는 가정 시간의 간격이 달라도 상관의 크기가 변하지않는다. 모든 시점이 서로 똑같이 상관되어있다.
복합 대칭성 (Compounded Symmetry)¶
반복 측정 자료에서 개체들은 일정 시점마다 측정되기 때문에 각 반복 측정치들 간 상관관계가 존재하는데, 이 상관관계들이 모두 동일하다는 가정
- 공분산 행렬 형태
- 모든 시점의 분산이 같다. ( 등분산 )
- 모슨 시점 쌍의 공분산(상관) 이 동일하다.
- 즉, 시간 간격 자체가 상관을 바꾸지 않은 상황 (강한 개인차 + 약한 시간 효과)
- 실제 데이터에서는 만족하는 경우가 매우 드물다.
다변량 분산분석 (MONOVA)¶
오차항이 다변량 정규분포를 따른다. 각 시점을 별도의 종속변수로 취급하고 전체를 다변량 정규분포로 모델링한다. y 가 하나인 모델링만 계속했었지만, 다변량 분산분석은 y 가 k 개 존재한다. 종속변수를 한꺼번에 취급한다.
구형성 가정이 필요없고 ANOVA 의 대안 (MANOVA) 표본수가 적을 때 검정력이 낮다. 데이터가 충분히 많을때만 실질적인 장점을 가진다.
접근 방법¶
| 구분 | 단변량 접근 |
|---|---|
| 모형의 형태 |
각 시점의 반복값을 하나의 반응 변수로 취급 (즉, 하나의 모델에 여러측정치를 넣음) \(Y_{ij}\) |
| 오차항 가정 |
구형성 가정 필요 (시간 간 차이의 분산 동일,공분산 구조 대칭) |
| 장점 | 계산 간단 직관적인 F 값 |
| 단점 | 구형성 위배 시 결과 왜곡 GreenHouse-Geisser,Huynh-Feldt 보정 필요 |
| 검정 통계량 |
F-검정 (단일 F) |
| 구분 | 다변량 접근 |
|---|---|
| 모형의 형태 |
각 시점을 별도의 종속변수 취급 (다변량 분산분석 수행) \(Y_i\;=\;(Y_{i1},Y_{i2},Y_{i3}\cdots)\) |
| 오차항 가정 |
공분산 가정 불필요 (공분산 구조 자유 허용) |
| 장점 | 구형성 위배시 정확, 일반 공분산 구조 허용 |
| 단점 | 표본수가 작으면 검정력 감소 가능 |
| 검정 통계량 |
Wilk's Lambda Pillai's Trace Hotelling-Lawley Trace Roy's Greatest Root |
모형 가정이 위반된 경우¶
-
구형성이 깨진다.
- 즉, 시점간의 상관이 일정하지 않다.
- 어떤 시점 쌍은 상관이 높고(변동 작음), 어떤 시점 쌍은 상관이 낮다 (변동 큼)
- 시점간 대비마다 신뢰성이 다르다.
- 시간 효과의 평균 제곱합이 일정하지 않은 오차항을 섞어서 계산하게 된다.
- F 분포가 더이상 정확히 F 분포를 따르지 않음, 보통 작은 p-value 를 계산함
- Type 1 Error 증가
- 실제 자료에서 복합대칭성 또는 구형성을 만족하기 힘들다.
-
따라서, 구형성 가정이 만족하지 않는다면 다변량 접근방법 (MONOVA) 사용
- GH, HF 를 통한 자유도를 보정한 후 p-value 을 수정하는 방법도 존재한다.
구형성을 만족하는 경우 반복측정 분산분석표¶
가설¶
구형성을 만족하는 자료의 분산분석표¶
| 요인 | 자유도 | 제곱합 | 평균제곱합 | F |
|---|---|---|---|---|
| 처리 | \(I-1\) | \(SSI=K\sum_{i=1}^I n_i(\bar y_{i..}-\bar y_{...})^2\) | \(SSI/(I-1)\) | \(F_1\) |
| 개체(처리) | \(N-I\) | \(SSJ=K\sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^{n_i}(\bar y_{ij.}-\bar y_{i..})^2\) | \(SSJ/(N-I)\) | |
| 시간 | \(K-1\) | \(SSK=N\sum_{k=1}^K n_i(\bar y_{..k}-\bar y_{...})^2\) | \(SSK/(K-1)\) | \(F_2\) |
| 처리x식나 | \((I-1)(K-1)\) | \(SS_{IxK}=\sum_{k=1}^K \sum_{i=1}^I n_i(\bar y_{i.k}-\bar y_{i..}-\bar y_{..k}+\bar y_{...})^2\) | \(SS_{I*K}/(I-1)(K-1)\) | \(F_3\) |
| 오차 | \((N-1)(K-1)\) | \(SSE=\sum_{k=1}^K \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ijk}-\bar y_{ij.}-\bar y_{i.k}+\bar y_{i..})^2\) | \(SSE/(N-I)(K-1)\) | |
| 계 | \(NK-1\) | \(SST=\sum_{k=1}^K \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^{n_i} (y_{ijk}-\bar y_{...})^2\) |
F 값은 오차항의 평균 제곱합으로 나누었다. 처리에 대한 효과를 검정할 때에, 개체내의 변동을 반영하여 F 값으로 집단간의 차이를 검정하게 된다.
Between-subject effect (Treatment Effect)¶
\(H_0\) : \(\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_I=0\)
각 처리간 평균 반응 수준이 동일한가?
Within-subject effects (Time Effect)¶
\(H_0\) : \(\gamma_1 = \gamma_2 = \cdots = \gamma_K = 0\)
시간이 지나도 평균 반응이 일정한가?
Interaction Between Treatment and Time¶
\(H_0\) : \(\delta_{11} = \delta_{12} = \cdots = \delta_{1K} = 0\)
처리의 종류에 따라 시간 경과에 따른 반응 패턴이 다른가?
예제¶
고혈압 환자 66 명을 대상으로 32 명에게는 기존의 혈압강하제 (C) 를 투여하고 나머지 34명에게는 새로운 혈압강하게 (E) 를 투여하여, 각각 3회에 걸쳐 혈압을 측정하였다. 즉, 첫 방문시 약을 투여받기 전의 혈압과 4주후, 8주후의 혈압을 측정하였다.
| 처리 C 개체 | 0주후 | 4주후 | 8주후 | 처리 E 개체 | 0주후 | 4주후 | 8주후 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | ||||||
| 2 | 2 |
- 기존 약과 새로운 혈압 강하제 간 유의한 차이가 있는가?
- 방문 시간에 따라 혈압에 차이가 있는가?
- 약과 방문 시간 간에 교호작용이 있는가?
코드¶
각 개체간 시간은 서로 상관이 있으므로 반복측정 분산분석을 시행한다. 시간에 지남에 따라 혈압패턴이 두 약 사이에 다르게 나타나는가?
proc glm data=blood
class trt
model week0 week4 week8 = trt / nouni ss3;
repeated week 3 (0 4 8) contrast(3) / sumamry printe;
run;
시간에 따른 변화(반복요인) 와 처리군 간 차이(집단요인) 를 함께 고려한 반복측정 ANOVA - trt(처리군) 에 따라 시간 (week0 , week4, week8) 별 반응이 달라지는 지를 분석 - nouni : 각 시점 별로 따로 ANOVA 표를 출력하지 않도록 한다. - ss3 : 제 3 종 제곱합 을 사용한다. - contrast(3) : week8 을 기준으로 한다. - profile : 인접한 시점간의 차이를 검정한다 ( week0 <-> week4, week4 <-> week8) - polynomial : 시간 변화의 추세 (선형, 2차, 3차 곡선 등) 를 검정
DF=64 week0 week4 week8
week0 1.000000 0.223615 0.337480
0.0734 0.0060
week4 0.223615 1.000000 0.337480
0.0734 <0.001
week8 0.337480 0,783986 1.000000
0.0060 <0.001
Sphericity Tests
Variables DF Mauchly's Criterion Chi-Square Pr > ChiSq
Transformed Variates 2 0.8329977 11.511634 0.0032
Orthogonal Components 2 0.7656244 16.825002 0.0002
시간이 지나면서 측정값들 사이의 상관이 점점 커진다. - 특히 4주와 8주간의 관계가 가장 강함 : 시간에 따른 안정화된 효과나 치료의 지속적 영향
Mauchly's Test (마클리 검정) : \(H_0\) : 구형성 가정이 성립한다. \(H_1\) : 구형성 가정이 성립하지 않는다.
두 행 모두 p < 0.05 : 구형성 가정이 위배되었다. - F 검정 시 자유도 보정 (Greenhouse-Geisser, Huynh-Feldt 등) 적용