1

Linear 의 정의

\[ For \;\; any \;scalar \;c,d \in \mathbb R \; and\;values\;u,v \in\; \mathbb R^n \]

\[ \begin{aligned} (c+d) \times (u+v) = c \times u + c \times v + d \times u + d \times v \end{aligned} \]

\[For\;c,d \in \mathbb R\;\&\;u,v\;\mathbb R\;\rightarrow\;(c+d)(u+v)=cu+du+cv+dv:linear\]

• \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\in \mathbb R^n\) 일때
• \(c(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=c*\overrightarrow{u}+c*\overrightarrow{v}\) 성립

사칙연산

v = np.array([1],[2],[3]) u = np.array([1],[2],[3])

합 · 차

\(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = ([2],[4],[6])\) \(\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} = ([0],[0],[0])\)

곱

\(\overrightarrow{u} * \overrightarrow{v} = ([1],[4],[9])\)

내적

inner product · dot product

두 벡터의 각 성분을 곱한 후 그 결과를 합산하는 연산 백터간 유사도 · 길이 계산

활용

내적(v,w) : \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{v_i*w_i}\) = \(v_1*w_1+v_2*w_2+\cdots+v_n*w_n\)

• 내적의 결과는 스칼라 값 (R)
• 양수 : 같은 방향
• 음수 : 반대 방향
• 0 : 직교(orthogonal)

Definition of Length

정의

\[\left\lvert \; \overrightarrow v \; \right\rvert\;=\;\sqrt{\overrightarrow v*\overrightarrow v}\]

Example

n = 2 : \(\left\lvert \; v \; \right\rvert \; = \; \sqrt {v_1^2*v_2^2}\) n = 3 : \(\left\lvert \; v \; \right\rvert \; = \; \sqrt {v_1^2*v_2^2*v_3^2}\)

if v = np.array([1],[2],[3]) \(\in \; \mathbb R^3\) \(\left\lvert \; v \; \right\rvert = \sqrt {1^2+2^2+3^2} \; = \sqrt 14\)

설명

피타고라스 정리 이용

\(\overrightarrow c\;=\;\overrightarrow a\;-\;\overrightarrow b\;=\;(\;a\;,\;-b\;)\) \(\left\lvert \; \overrightarrow c \; \right\rvert\;=\;c\;=\;\sqrt{a^2\;+\;b^2}\;=\;\sqrt{<(a,-b),(a,-b)>}\;=\;\sqrt{a*a\;+\;(-b)*(-b)}\;=\;\sqrt{a^2\;+\;b^2}\;=\;\sqrt{<\overrightarrow c,\overrightarrow c>}\)

Rules for Inner Product & Length

1. \(\overrightarrow {u} * \overrightarrow {v} = \overrightarrow {v} * \overrightarrow {u}\)
2. \(\overrightarrow{w} * (\overrightarrow {u} + \overrightarrow {v}) = \overrightarrow {v} * \overrightarrow {w} +\overrightarrow {u} * \overrightarrow {w}\)
3. \((c*\overrightarrow {v}) * \overrightarrow {w} = c(\overrightarrow {v} * \overrightarrow {w}) = \overrightarrow {v} * (c*\overrightarrow {w})\)
4. \(\left\lvert \; \overrightarrow v + \overrightarrow w \; \right\rvert^2 = \overrightarrow v * \overrightarrow v +2\overrightarrow v * \overrightarrow w + \overrightarrow w * \overrightarrow w\)
5. \(<a*\overrightarrow v\;,\;b*\overrightarrow w> \;=\; ab<\overrightarrow v,\overrightarrow w>\) \(<a\overrightarrow v,b\overrightarrow w>\;=\;\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(a\overrightarrow v_i)(b\overrightarrow w_i)}\;=\;ab\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{(\overrightarrow v_i)(\overrightarrow w_i)}\;=\;ab<\overrightarrow v,\overrightarrow w>\)

Unit Vector

정의

if \(\overrightarrow u\) is unit vector as whose length equals 1

\[\overrightarrow u * \overrightarrow u = 1\]

\(\overrightarrow {u}\;=\;\frac{\overrightarrow {v}}{\left\lvert \overrightarrow v\right\rvert}\) : if \(\left\lvert \overrightarrow v \right\rvert\) is not 0 , \(\overrightarrow u\) in the same direct as \(\overrightarrow v\)

Example

1. \(\overrightarrow u = (\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})\;\; \therefore(\overrightarrow u * \overrightarrow u = 4 * \frac{1}{2}*\frac{1}{2} = 1)\)
2. 각 성분의 곱 = (\(\frac{1}{2}\;*\;\frac{1}{2}\))
3. \(\overrightarrow u\;\in\;\mathbb R^4\)
4. \(\overrightarrow {u}\;=\;\frac{\overrightarrow {v}}{\left\lvert \overrightarrow v\right\rvert}\)
5. \((\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3})\; = \frac{1}{3}(2,2,1)\) is unit vetor
6. in the same direction as (2,2,1)

standard unit vector ( \(\overrightarrow e_i\) )

• \(i_{th}\) 원소를 제외한 모든 원소가 0 인 vector
• \(\overrightarrow e_i\;\;=\;\;\overrightarrow v \;\; / \;\; \left\lvert \overrightarrow v\right\rvert\) (if: \(\left\lvert \overrightarrow v\right\rvert\) is not 0)

\[<\overrightarrow u,\overrightarrow u>\;=\;<\overrightarrow v/\left\lvert \overrightarrow v\right\rvert,\overrightarrow v/\left\lvert \overrightarrow v\right\rvert>\;=\;\frac{1}{\left\lvert \overrightarrow v\right\rvert^2}<\overrightarrow v,\overrightarrow v>\;=\;\frac{1}{\left\lvert \overrightarrow v\right\rvert^2}\left\lvert \overrightarrow v\right\rvert^2\;=\;1\]

example

\(\overrightarrow {i}\;=\;([1],[0])\;,\;\overrightarrow {j}\;=\;([0],[1])\;\in\;\mathbb R^2\) \(\overrightarrow {i}\;=\;([1],[0],[0])\;,\;\overrightarrow {j}\;=\;([0],[1],[0])\;,\;\overrightarrow {k}\;=\;([0],[0],[1])\;\in\;\mathbb R^3\)

기하학적 성질

극좌표계 (Polar coordinates):

• \(u\;=\;(cos\;\theta,sin\;\theta)\) 는 원점에서부터의 거리가 1인 점을 나타냅니다.
• \(\theta\)는 원점에서부터 u 까지의 각도
• 이때, \(\therefore\;cos^2\;\theta\;+\;sin^2\;\theta\;=\;1\)은 피타고라스의 정리를 이용하여 원점에서 u까지의 거리가 항상 1이라는 것을 나타냅니다.

\(u\;=\;(cos\;\theta,sin\;\theta)\) where 0 <= \(\theta\) <= 2\(\pi\) (polar coordinate) \(\therefore\;cos^2\;\theta\;+\;sin^2\;\theta\;=\;1\)

구좌표계 (Spherical coordinates):

\(u\;=\;(sin\;\theta\;cos\;\varphi,sin\;\theta \;sin\;\varphi,cos\;\theta)\) : 구면 좌표계에서 u \(\theta\) : z 축과 u 사이의 각도 \(\varphi\) : xy 평면에서 u의 위치

0 <= \(\theta\) <= 2\(\pi\) 0 <= \(\varphi\) <= 2\(\pi\)

cos 제 2 법칙

\(<\overrightarrow v,\overrightarrow w>\;=\;\left\lvert \overrightarrow v\right\rvert\left\lvert \overrightarrow w\right\rvert cos\;\theta\)

• \(\displaystyle if\;\;\theta\;\;is\;\;90\;\degree\)

\(\sin^2\theta\;+\;\cos^2\;\theta\;=\;1\)

\(C^2\;=\;A^2\;+\;B^2\;+\;2AB\;*\;cos\;\frac{\pi}{2}\;(cos\;\frac{\pi}{2}\;==\;0)\;=\;A^2\;+\;B^2\)

• 일반

\(\begin{flalign} C^2\;&=\;(A\sin\theta)^2+(B\;-\;A\cos\theta)^2 \\ \;&=\;A^2\sin^2\theta\;+\;B^2\;-\;2AB\;*\;\cos\theta\;+\;A^2\cos^2\theta\; \\ \;&=\;A^2(\sin^2\theta\;+\;\cos^2\theta)\;+\;B^2\;-\;2AB\;*\;\cos\theta \end{flalign}\)

벡터의 내적과 크기를 활용하여 두 백터 사이의 거리를 구한다.

\(A\;=\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\) : vector v 의 크기 \(B\;=\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\) : vector w 의 크기 \(C\;=\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;-\;\overrightarrow v\;\right\rvert\) : 두 vector 사이의 거리

1. \(C^2\;=\;A^2\;+\;B^2\;-\;2AB\;*\;\cos\theta\)

2. \(\left\lvert\;\overrightarrow w\;-\;\overrightarrow v\;\right\rvert^2\;=\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert^2\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert^2\;-\;2\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;*\;\cos\theta\)

3. \(\left\lvert\;\overrightarrow w\;-\;\overrightarrow v\;\right\rvert^2\;=\;<\;\overrightarrow w\;-\;\overrightarrow v\;,\;\overrightarrow w\;-\;\overrightarrow v\;>\) \(\left\lvert\;\overrightarrow w\;-\;\overrightarrow v\;\right\rvert^2\;=\;<\overrightarrow w\;,\;\overrightarrow v>\;-\;2\;<\overrightarrow w\;,\;\overrightarrow v\;>\;+\;<\overrightarrow v\;,\;\overrightarrow v\;>\) \(\left\lvert\;\overrightarrow w\;-\;\overrightarrow v\;\right\rvert^2\;=\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert^2\;-\;2\;<\;\overrightarrow w\;,\;\overrightarrow v\;>\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert^2\)

\(\therefore\;\;-2\;<\;\overrightarrow w\;,\;\overrightarrow v\;>\;=\;-2\;\overrightarrow v\;*\;\overrightarrow w\;*\;\cos\theta\) \(\therefore\;\;<\;\overrightarrow w\;,\;\overrightarrow v\;>\;=\;\overrightarrow v\;*\;\overrightarrow w\;*\;\cos\theta\)

1. 벡터의 크기를 이용한 거리 공식의 제곱 형태
2. 거리의 제곱 형태
3. 내적을 이용한 거리의 제곱 형태

내적 = 두 벡터의 크기 * \(\cos\theta\) : 거리를 구한다.

\[\frac{v\;*\;w}{\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;*\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert}\;=\;\cos\theta\;\;\leftrightharpoons\;\;<\;\overrightarrow w\;,\;\overrightarrow v\;>\;=\;\overrightarrow v\;*\;\overrightarrow w\;*\;\cos\theta\]

위의 두 식은 동일한 의미를 가진다.

1. 첫 번째 식:

   • 분자 : 두 벡터 \(\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\) 와 \(\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\) 의 내적
   • 분모 : 두 벡터의 크기의 곱
   • 이는 두 벡터 사이의 각도 \(\theta\) 의 \(\cos\) 값

내적의 정의와 벡터의 크기를 활용 내적 · 벡터 의 크기 곱이 코사인 값이 된다.

1. 두 번째 식:

   내적의 정의에 따라 \(<\) \(\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\) , \(\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\) \(>\) 는 \(\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\) 와 \(\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\)의 크기의 곱에 두 벡터 사이의 각도 \(\theta\)의 \(\cos\) 값이 된다.

따라서 두 식은 동치가 된다. 내적의 정의를 통해 이를 확인할 수 있다. 벡터의 내적이 Angle · Length 를 의미한다.

Schwarz Inequality

슈바르츠 부등식

정의

\[\left\lvert\;\overrightarrow v\;*\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;\leq\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;*\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;\]

풀이

\(\;<\;\overrightarrow w\;,\;\overrightarrow v\;>\;=\;\overrightarrow v\;*\;\overrightarrow w\;*\;\cos\theta\)

\(\cos\theta\) 제 2 법칙으로 증명한 위 등식을 이용하여 아래의 식을 증명한다.

\(\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;*\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;=\;\left\lvert\;\left\lvert\; \overrightarrow v \;\right\rvert\;*\;\left\lvert\; \overrightarrow w \;\right\rvert\;*\;\cos\theta\;\right\rvert\) ( \(\left\lvert\; \cos\theta\;\right\rvert\;\leq\;1\) )

\(\left\lvert\frac{v\;*\;w}{\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;*\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert}\right\rvert\) = \(\left\lvert\; \cos\theta\;\right\rvert\;\leq\;1\)

Triangle Inequality

삼각 부등식

Tip

\(a\;·\;b\;\in\;\mathbb R\) 일때 \(\left\lvert\;a\;+\;b\;\right\rvert\;\leq\;\left\lvert\;a\;\right\rvert\;+\;\left\lvert\;b\;\right\rvert\)

위 등식의 Vector 버전

Prepare

만약 \(a\;<\;b\) 를 증명하려 한다면

1. \(b\;-\;a\;>\;0\)
2. \(b\;/\;a\;>\;1\;(\;if\;a\;>\;0\;)\)
3. \(b^2\;-\;a^2\;>\;0\;(\;if\;a\;·\;b\;>\;0)\)

위와 같은 방법들을 통해 증명이 가능하고 아래의 정의를 3번 방법을 통해 증명해본다.

정의

어떤 Vector v · w 에 대해서도 아래 정의가 성립한다.

\[\left\lvert\;\overrightarrow v\;+\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;\leq\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\]

풀이

아래와 같이 치환 a : \(\left\lvert\;\overrightarrow v\;+\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;\) b : \(\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\)

\(b^2\;-\;a^2\;>\;0\) 을 통해 증명하는 풀이이다.

\[\begin{align} &(\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;)^2\;-\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;+\;\overrightarrow w\;\right\rvert^2 \\ &= \left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert^2\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert^2\;+\;2\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;*\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;-\;(\;\overrightarrow v\;\;+\;\;\overrightarrow w\;\;)\;*\;(\;\;\overrightarrow v\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;) \\ &= \left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert^2\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert^2\;+\;2\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;*\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;-\;(\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert^2\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert^2\;+\;2\;\overrightarrow v\;*\;\overrightarrow w\;) \\ &=\;2(\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;-\;\overrightarrow v\;*\;\overrightarrow w\;)\;\geq\;0\;\;\;\;(\;\;\therefore\;\;Schwarz\;Inequality) \end{align}\]

예제

임의의 모든 벡터에 대해 성립한다.

요약

\(\overrightarrow v\) 의 Length \(\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\) = \(\sqrt{v\;*\;v}\)

\(\overrightarrow u\) = \(\overrightarrow v\;\;/\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\) 는 Unit Vector 이며 Length = 1

\(\overrightarrow v\) · \(\overrightarrow w\) (내적) = 0 이면 두 벡터는 Prependicular(수직)

\(\cos\) 법칙 : \(\cos\theta\) = \(\frac{v\;*\;w}{\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;*\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert}\) , \(\left\lvert\; \cos\theta\;\right\rvert\;\leq\;1\)

슈바르츠 부등식 : \(\left\lvert\;\overrightarrow v\;*\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;\leq\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;*\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;\)

삼각 부등식 : \(\left\lvert\;\overrightarrow v\;+\;\overrightarrow w\;\right\rvert\;\leq\;\left\lvert\;\overrightarrow v\;\right\rvert\;+\;\left\lvert\;\overrightarrow w\;\right\rvert\)